3.5 向量组的秩在线视频

同学们好

今天我们来学习线性方程组的第五讲

向量组的秩

本讲的内容包括极大无关组

向量组的秩与矩阵

首先我们来学习向量组的极大无关组

若向量组A的部分组α₁ α₂…αᵣ

满足两个条件

(1) 该部分组线性无关

(2) 向量组A中任意r+1个向量线性相关

如果存在r+1个向量的话

则称α₁ α₂…αᵣ为向量组A的极大无关组

由该定义可知

(1) 向量组中任意向量都可以由极大无关组线性表示

(2) 因为仅含零向量的向量组是线性相关的

所以仅含零向量的向量组无极大无关组

(3) 向量组的极大无关组一般不唯一

仅线性无关的向量组的极大无关组是唯一的

并且是其自身

此外不难验证

极大无关组还存在如下结论

定理8

任意向量组与其极大无关组等价

由定理8易知

向量组的任意两个极大无关组等价

向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同

下面我们引入向量组秩的概念

向量组α₁ α₂…αₛ的极大无关组所含向量的个数

称为向量组的秩

记为r(α₁ α₂…αₛ)

关于向量组的秩

我们有如下结论

若向量组α₁ α₂…αₛ

可由向量组β₁ β₂ … βₜ线性表示

则向量组α₁ α₂…αₛ的秩

小于等于β₁ β₂ … βₜ的秩

等价的向量组是等秩的

同学们请问

两个等秩的向量组是否一定等价呢

例1 设向量组A的秩是r

则下列命题中正确的是

由于向量组A的秩是r

所以向量组A中存在

r个线性无关的向量

且任意r+1个向量都线性相关

故选项B中 任意 二字错误

同理选项A也错误

因此选项C正确

例2 设全体n维向量构成的向量组记作Rₙ

求Rₙ的一个极大无关组和秩

因为n维单位向量组ε₁ ε₂…εₙ线性无关

而且任意一个n维向量

可由n维单位向量组线性表示

表示系数就是向量的各分量

所以ε₁ ε₂…εₙ是Rₙ的一个极大无关组

因此Rₙ的秩为 n

同学们 矩阵可以按行或按列分块得到向量组

那么他们的秩是否存在联系呢

现在我们来学习向量组的秩与矩阵

定理11 矩阵的秩等于它的列向量组的秩

也等于它的行向量组的秩

矩阵列向量组的秩简称为列秩

行向量组的秩简称为行秩

定理11即是说矩阵的秩等于它的行秩

也等于它的列秩

利用该定理可以求一个向量组的秩

和极大无关组

下面我们举例说明

已知向量组α₁ α₂ α₃ α₄

求它的一个极大无关组

并将其余向量用此极大无关组线性表示

根据定理11

矩阵的秩等于它的列向量组的秩

所以我们以α₁ α₂ α₃ α₄为列构成矩阵A

对A进行初等行变换化为行阶梯形矩阵

不难看出行阶梯形矩阵含有3个非零行

即矩阵A的秩为3

所以向量组的秩也为3

因此该向量组中任意3个线性无关的部分组

都是它的极大无关组

又因为初等行变换不改变

矩阵列向量组之间的线性关系

所以从行阶梯形矩阵可以看出

第1列 第2列 第3列对应的原向量

α₁ α₂ α₃ 线性无关

即为原向量组的一个极大无关组

同学们请问α₁ α₂ α₄是极大无关组吗

为了表示极大无关组之外的α₄

我们对行阶梯形矩阵继续进行初等行变换

化成行最简形矩阵

可得第四列的前三个数为-1 -1 1

恰好就是α₄由极大无关组线性表示的表示系数

同学们例3提供了极大无关组的一种求法

首先将已知向量组按列排成矩阵

再利用初等行变换化成行阶梯形矩阵

从其非零行数得到向量组的秩r

同时行阶梯形矩阵非零行首个非零元所在列

对应的原向量即为所求的一个极大无关组

此外若要将其余向量用极大无关组线性表示

则需对行阶梯形矩阵继续进行初等行变换

化为行最简形矩阵

其余向量所在列的前r个数即为表示系数

类似地 请同学们完成下列关于极大无关组的练习

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了向量组的极大无关组和求法

以及向量组的秩与矩阵的关系

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢