附1：递推与数学归纳法在线视频

同学们好

行列式展开定理是通过降阶来计算行列式的

如果行列式具有一定的结构特征

比如

范德蒙德行列式和三对角行列式

其降阶将会呈现出一定的规律

然而

利用降阶建立的递推关系

或者数学归纳法却又是行列式中的难点

今天

我们将重点学习具有特殊结构的行列式

及其计算的递推法和数学归纳法

首先

我们来介绍行列式的递推法

例1

计算五阶的三对角行列式

本行列式的特点是

主对角线上的元素为2

其上方和下方的元素都为1

其余的元素为零

我们不妨将行列式按第一行进行展开

观察发现

划去第一行第一列的元素2

剩下的四阶行列式仍然具有三对角行列式的结构

我们得到2D₄

然后

再减去另一个四阶行列式

对后者继续将其按第一列降阶展开

进一步得到两个三对角行列式之差

即D₅=2D₄-D₃

移项整理得

D₅-D₄=D₄-D₃= … =D₂-D₁=1

重新整理可得D₅=D₄+1=D₃+2=6

所谓递推法

是指按行列展开定理

将行列式表示为具有相同结构特征的低阶行列式的线性关系

比如

Dₙ=αDₙ₋₁-βDₙ₋₂

下面

我们举例进一步说明

例2

计算如下的六阶行列式

其中未写出的元素全为零

本行列式的特点是

仅在主对角线和次对角线上的元素不为零

不妨将行列式按第一列展开

等于a₃乘一个五阶行列式

减去c₃乘另一个五阶行列式

同学们请注意

这两个五阶行列式并不具有原来行列式的结构特点

其中心位置发生了变化

如果我们继续将左边的行列式按第五行

右边的行列式按第一行进行降阶展开

依次可得两个相同的四阶行列式

值得注意的是

该行列式具有原来行列式的结构特点

因此

可以建立从六阶到四阶行列式的递推公式

同理

可以继续降至二阶行列式

并得到D₆的答案

同学们

如果将此行列式推广到D₂ₙ

你能得到相应的答案吗

例3

计算主对角线上的元素为5的n阶三对角行列式

类似地

如果我们按第一行展开

可得5倍n-1阶的三对角行列式

减去一个3倍n-1阶的行列式

对后者

我们继续按第一列降阶展开

得到Dₙ=5Dₙ₋₁-6Dₙ₋₂

并且

根据行列式的特征

容易计算D₁和D₂

由递推公式可得Dₙ-2Dₙ₋₁=3(Dₙ₋₁-2Dₙ₋₂)=3ⁿ

同理可得

Dₙ-3Dₙ₋₁= 2(Dₙ₋₁-3Dₙ₋₂)=2ⁿ

因此

结合这两个递推公式可以得到关于Dₙ的方程组

进一步可以解出行列式的结果

同学们你学会关于三对角行列式计算的递推方法了吗

现在

我们举例说明行列式降阶展开的归纳法

例4

证明关于三阶行列式的等式

同学们

等式右端第一个括号里是两个未知量的乘积之和

而右边的乘积与范德蒙德行列式的结论相似

所以

我们不妨在第二行添加缺失的一次项

以构造四阶的范德蒙德行列式D

并写出相应的乘积结果

另一方面

我们也可以将行列式按第四列展开

经比较发现

D中的代数余子式A₂₄恰好是需要证明的行列式

也就是未知变量y的系数

因此

再利用范德蒙德行列式的结果

并整理y的系数即可完成等式的证明

例5

计算如下n +1阶行列式

不难发现

每一行的元素aᵢ的指数都是由n依次递减到0

然而bᵢ的指数却是由0递增到n

所以

如果我们逐行提取公因子aᵢ的n次幂

可以得到一个新的行列式

并将每一行的比商视为一个整体

其指数由0依次增加到n

显然

我们得到了一个n+1阶的范德蒙德行列式

再利用范德蒙德行列式的结果

通分

并整理可以得到关于两个元素乘积之差的结果

例6

证明关于主对角线上元素为2a的n阶三对角行列式

我们用数学归纳法来证明

当n=1时

行列式等于2a

显然 结论成立

类似验证

当n=2时

结论也成立

我们不妨假设

当n=k-1时 结论成立

那么

当n=k时

我们可以对第一列进行降阶展开

得到一个k-1阶的三对角行列式

和另一个第一行仅含一个非零元的行列式

前者可以记为Dₖ₋₁

而后者可以对第一行展开得到Dₖ₋₂

然后

分别代入n=k-1和k-2的假设

整理发现

结论依然成立

因此

我们有Dₙ=(n+1)aⁿ

同学们

具有特殊结构的行列式的计算或证明

我们可以考虑数学归纳法

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了

三对角行列式和范德蒙德行列式计算的递推方法和数学归纳法

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢