当前课程知识点：线性代数 > 第二章 矩 阵 > 第 10 讲 伴随矩阵的性质 > 附2：伴随矩阵的性质
同学们好
为了求解逆矩阵
我们引入了伴随矩阵的概念
并建立了关于伴随矩阵的基本性质和求法
同时
通过行列式定义的伴随矩阵
在转置
乘积和方阵的行列式等方面
是否具有自身的性质呢
今天
我们将系统学习伴随矩阵的运算性质和相关应用
首先
我们来介绍伴随矩阵的性质
我们知道
已知一个方阵
利用元素的代数余子式可以定义
并求解相应的伴随矩阵
利用伴随矩阵的基本性质
A乘A的伴随矩阵
等于A的伴随矩阵乘以A等于A的行列式乘以单位矩阵
在等式的两端分别取行列式可以得到
伴随矩阵的行列式
等于A的行列式的n-1次方
再结合逆矩阵的定义
我们建立了逆矩阵的求解公式
同时
我们发现
伴随矩阵的逆矩阵求解公式更为简单
下面
我们进一步说明伴随矩阵的其它性质
性质1
A的伴随矩阵的转置等于A的转置的伴随矩阵
即求伴随矩阵与转置可以交换顺序
证明
设矩阵A的元素为aᵢⱼ
由代数余子式可以表示出相应的伴随矩阵
同时
如果我们先取A的转置
即交换A的行与列
类似地
也可求出转置矩阵的伴随矩阵
经比较可得
性质1显然成立
性质2
若A的行列式不等于零
则伴随矩阵的逆矩阵等于A的逆矩阵的伴随矩阵
性质3
若A的行列式不等于零
则A的伴随矩阵的转置再取逆矩阵
等于其逆矩阵的转置
也等于逆矩阵转置的伴随矩阵
我们先证性质2
因为A的行列式不等于零
利用伴随矩阵的基本性质可得
A的伴随矩阵等于A的行列式乘以逆矩阵
我们在两端直接求逆矩阵
则A的伴随矩阵的逆矩阵
等于A的行列式分之一乘以A
也等于A的逆矩阵的伴随矩阵
再证性质3
因为A的逆矩阵与转置可以交换顺序
所以
A的伴随矩阵的转置再取逆矩阵
等于伴随矩阵的逆矩阵再取转置
再结合性质1和性质2
可以得到性质3
性质4
若A的行列式不等于零
则数乘kA的伴随矩阵等于k的n-1次方乘以A的伴随矩阵
性质5
如果A的行列式不等于零
则A的伴随矩阵的伴随矩阵
等于A的行列式的n-2次方乘以A
我们先证性质4
利用伴随矩阵的性质
将矩阵A换为kA
并结合方阵的行列式和逆矩阵的性质
整理可得相应的结论
再证性质5
因为伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方
结合A的伴随矩阵等于A的行列式乘以逆矩阵
再将A替换为伴随矩阵
化简可得性质5成立
请同学们自己证明下列关于AB乘积的伴随矩阵性质
我们简单归纳一下伴随矩阵的运算性质
同学们
你记住哪些性质没有矩阵可逆的条件了吗
现在
我们举例说明伴随矩阵的应用
例1
设AB为n阶矩阵
且行列式分别等于2和-3
求2倍A*乘B的逆矩阵的行列式
利用方阵的行列式性质
可得2的n次方乘以A*乘B的逆矩阵的行列式
再结合伴随矩阵的行列式性质
整理可得行列式的结果
同学们
本例是否可以先将伴随矩阵转化为逆矩阵
然后再取行列式进行计算呢
例2
设A为n阶非零矩阵
如果A的伴随矩阵等于A 的转置
试证明A为可逆矩阵
证法一
设矩阵A的元素为aᵢⱼ
由矩阵相等可知
伴随矩阵中的代数余子式Aᵢⱼ等于元素aᵢⱼ
再结合行列式的展开定理
A的行列式等于第i行元素aᵢⱼ的平方和
同时
因为A为非零矩阵
所以
至少存在一个元素aᵢⱼ不为零
因此
A的行列式不等于零
即矩阵A可逆
另外
由伴随矩阵的基本性质
以及等于A的转置
可得A乘A的转置等于A的行列式乘单位矩阵
假设行列式等于零
则有A乘A的转置 等于零
同时
如果将A进行行分块
并进一步表示分块矩阵的乘积
主对角线上的元素显示
所有行向量都等于零
即A为零矩阵
这与已知矛盾
因此
矩阵A可逆
例3
设A B为n阶矩阵
求分块矩阵H的伴随矩阵
我们利用伴随矩阵的基本性质
可以验证选项(C)正确
另外
因为本题为选择题
可以采用特殊值法
我们不妨添加矩阵A B可逆的条件
又因为H的伴随矩阵等于H的行列式乘以逆矩阵
再结合分块对角矩阵关于行列式和逆矩阵的结论
整理可得选项(C)正确
同学们
你能理解以上关于伴随矩阵的行列式
转置和分块矩阵的应用吗
最后
我们做一个小结
本讲我们学习了伴随矩阵关于转置
逆矩阵和乘积等的运算性质及其相关应用
好的
今天就讲到这里
希望同学们认真完成思考与练习
谢谢
-第 1 讲 二三阶行列式
--随堂测试
-第 2 讲 n 阶行列式
--随堂测试
-第 3 讲 行列式的性质
--随堂测试
-第 4 讲 行列式的展开
--随堂测试
-第 5 讲 克莱姆法则
--随堂测试
-第 6 讲 重点习题选讲
--随堂测试
-第 7 讲 递推与数学归纳法
--随堂测试
-第 1 讲 矩阵的概念
--随堂测试
-第 2 讲 矩阵的运算（一）
--随堂测试
-第 3 讲 矩阵的运算（二）
--随堂测试
-第 4 讲 逆矩阵
--2.3 逆矩阵
--随堂测试
-第 5 讲 分块矩阵
--2.4 分块矩阵
--随堂测试
-第 6 讲 矩阵的初等变换（一）
--随堂测试
-第 7 讲 矩阵的初等变换（二）
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-第 8 讲 矩阵的秩
--2.6 矩阵的秩
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-第 9 讲 重点习题选讲
--重点习题选讲
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-第 10 讲 伴随矩阵的性质
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-第 1 讲 消元法示例
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-第 2 讲 线性方程组解的判定
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-第 3 讲 向量组的线性组合
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-第 4 讲 向量组的线性相关性
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-第 5 讲 向量组的秩
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-第 6 讲 齐次线性方程组的通解
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-第 7 讲 非齐次线性方程组的通解
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-第 8 讲 向量空间
--3.8 向量空间
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-第 9 讲 重点习题选讲
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-第 10 讲 线性方程组解的证明
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-第 1 讲 向量的内积
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-第 2 讲 矩阵的特征值与特征向量
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-第 3 讲 相似矩阵与对角化
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-第 4 讲 实对称矩阵的对角化
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-第 5 讲 重点习题选讲
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-第 6 讲 相似对角化的逆问题
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-第 1 讲 二次型及其矩阵
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-第 2 讲 二次型的标准形
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-第 3 讲 正定二次型
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-第 4 讲 重点习题选讲
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-第 5 讲 正定矩阵的应用
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