3.9 重点习题选讲在线视频

同学们好

今天我们来学习线性方程组的第九讲

重点习题选讲

本讲内容包括

线性方程组的重难点和典型习题选讲

首先

我们来回顾线性方程组的重难点

线性方程组学习的重点是

向量组的线性组合

线性相关性

线性方程组解的判定和结构

难点是向量组的线性相关性

线性方程组解的结构

事实上

向量组与线性方程组的相关问题

通常分为以下三种情形

(1) 向量组的线性相关性

其实就是齐次线性方程组的问题

(2) 向量由向量组线性表示

其实就是非齐次线性方程组的问题

(3) 向量组之间的表示

等价

其实就是矩阵方程的问题

下面

选讲一些典型习题加以说明

例1

设有矩阵A和线性无关的3维列向量组

α₁ α₂ α₃

求向量组Aα₁ Aα₂ Aα₃的秩

因为α₁ α₂ α₃是线性无关的向量组

所以它们按列构成的矩阵可逆

利用分块矩阵乘法可得

故向量组 Aα₁ Aα₂ Aα₃的秩

其实就是矩阵A秩

等于2

同学们

那么这个向量组是线性相关的

还是线性无关的呢

例2

判断向量组α₁ α₂ α₃的线性相关性

设x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=0

将α₁ α₂ α₃的值代入

得齐次线性方程组

对系数矩阵进行初等行变换

化为行阶梯形矩阵

不难发现系数矩阵的秩2小于未知量个数3

方程组有非零解

因此

向量组线性相关

例3

设A为三阶矩阵

α₁ α₂ α₃是线性无关的向量组

Aα₁ Aα₂ Aα₃

分别由向量组α₁ α₂ α₃线性表示

求矩阵A的行列式值

利用分块矩阵乘法可知

A(α₁,α₂,α₃)=(Aα₁,Aα₂,Aα₃)

代入Aα₁ Aα₂ Aα₃的表达式可得

整理为矩阵乘积

记α₁ α₂ α₃构成的矩阵为P

右乘的三阶矩阵为B

则有

AP=PB

因为α₁ α₂ α₃线性无关

所以矩阵P可逆

从而

A=PBP⁻¹

因此

|A|=|B|=2

类似地

请同学们完成下列关于线性方程组的练习

现在

我们进一步说明两个向量组之间的矩阵关系

例4

设A B C为n阶矩阵

若AB=C

且B可逆

则下面说法正确的是

将A C按列分块

代入已知AB=C

可见α₁ α₂ ...αₙ与b₁₁ b₂₁ ...bₙ₁对应乘积之和

等于γ₁

同理

可得γ₂ ...γₙ

所以

γᵢ能由α₁ α₂ ...αₙ线性表示

即矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示

又因为矩阵B可逆

所以

A=CB⁻¹

即A的列向量组也能由C的列向量组线性表示

因此

选项B正确

例5

设向量组α₁ α₂ α₃不能由向量组

β₁ β₂ β₃线性表示

(1) 求a的值

(2) 将β₁ β₂ β₃用α₁ α₂ α₃线性表示

第一问

因为α₁ α₂ α₃不能由β₁ β₂ β₃线性表示

所以β₁ β₂ β₃线性相关

进而β₁ β₂ β₃构成的行列式值等于零

故a=5

第二问

因为α₁ α₂ α₃是三个三维列向量

且对应的行列式值不等于零

所以α₁ α₂ α₃线性无关

并且β₁ β₂ β₃能由α₁ α₂ α₃线性表示

从而

有线性方程组x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=βⱼ

对其增广矩阵进行初等行变换

化为行最简形矩阵

因此

向量组β₁ β₂ β₃

由α₁ α₂ α₃线性表示的表示系数分别为

第4 5 6列的元素

例6

已知a是常数

且矩阵A可经过初等列变换化成矩阵B

(1) 求a的值

(2) 求可逆矩阵P

使得AP=B

第一问

已知矩阵A可经过初等列变换化成B

即矩阵A和B等价

故两者的秩相等

因为A的行列式值等于0

且有二阶子式不为0

所以

A的秩为2

从而B的秩也为2

因此

B的行列式值等于零

即是说a=2

第二问

满足条件的可逆矩阵P其实就是矩阵方程AX=B的解

不妨先将AB构成增广矩阵

然后进行初等行变换

化成行最简形矩阵

由于系数矩阵与增广矩阵的秩都等于2

小于未知量个数3

所以

将自由未知量依次取值为k₁ k₂ k₃

即可得矩阵P

因为要求P可逆

故P的行列式值不等于零

即k₂≠k₃

最后

我们做一个小结

本讲我们回顾了线性方程组的重难点

并讲解了一些典型的习题

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢