2.5 矩阵的初等变换（一）在线视频

同学们好

今天我们来学习矩阵的第六讲

矩阵的初等变换(一)

本讲内容包括

矩阵的初等变换和等价标准形

首先

我们来介绍矩阵的初等变换

我们知道

利用性质可以将任意行列式进行三角化

例如

通过行交换等

可以将这个行列式化为上三角行列式

并进行计算

那么

在矩阵的行或者列上能否进行类似地变换呢

定义13

我们称以下三种变换为矩阵的初等行变换

初等行交换

行的数乘和将第j行的k倍加到第i行对应的元素上

类似地

我们也可以定义初等列变换

通常

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换

比如

将矩阵A化为上三角矩阵

为了简化运算

我们先交换A的第一行和第二行得到一个新的矩阵

请注意

行交换前后的矩阵不相等

所以

初等变换之间的矩阵不能用等号连接

通常用箭头进行表示

然后

我们将第一行各元素的2倍

-3倍分别加到第二行 第三行

可以将第二行和第三行 第一列的元素化为零

类似地

继续用第二行各元素的8倍

可以将第三行的元素8化为零

即可以得到上三角矩阵

反之

如果我们将上三角矩阵的第二行各元素的-8倍加到第三行

结果又如何呢

事实上

又可以得到左边的矩阵

即初等变换可逆

可以通过相应的初等变换还原之前的矩阵

同学们

在方阵上作初等行变换一定能得到上三角矩阵吗

我们不妨来看看更一般的情形

例2 用初等变换将矩阵A化为行阶梯形矩阵

我们先交换矩阵的第一行和第三行

再将第一行各元素的1倍 -3倍

和1倍依次加到第二 三 四行

将其第一列的元素化为零

并且将第四行化为了零行

类似地

继续用第二行各元素的10倍加到第三行

得到一个含有零行的矩阵

如果我们做一个阶梯状的划分

那么

阶梯下方的元素和零行的位置又有何特点呢

它与上三角矩阵又存在何种联系呢

如果将例2得到的矩阵记为B

继续用行的数乘变换

便可将第三行的非零元素化为1

这两个就是我们要求解的行阶梯形矩阵

它具有如下的特点

(1) 阶梯下方元素全为零

零行位于最后

(2) 每次向下移动一行或一个阶梯

(3) 非零行第一个非零元的行标不大于列标

以后

我们将用行阶梯形矩阵求解线性方程组

同学们

我们在化行阶梯形矩阵的过程中仅仅用到了初等行变换

那么

矩阵的初等列变换的应用呢

现在

我们来学习矩阵的等价标准形

定义14

矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B

我们称A与B等价

并且矩阵等价具有自反性 对称性和传递性

定理2 任意矩阵A经过有限次初等变换

可以化为矩阵D的形式

我们称D为A的等价标准形

即单位子块位于左上角的分块矩阵

我们不妨对例2得到的矩阵B继续进行行变换

将第三行各元素的-3倍

14倍分别加到第一行和第二行

再将第二行各元素的-4倍加到第一行

得到另一个非常重要的矩阵

行最简形矩阵

它具有如下特点

(1) 在行阶梯形矩阵中

非零行的第一个非零元素为1

(2) 该非零元所在列的其它元素全为零

在此基础上

我们引入初等列变换

可将行最简形矩阵的第三列元素5和-3化为0

便得到矩阵A或B的等价标准形

下面

我们举例进一步说明矩阵标准形的求法

例3 求矩阵A的标准形

显然

矩阵A不是方阵

我们将第一行各元素的-1倍

-2倍分别加到第二行和第三行

将其第一列的元素化为零

再用第二行各元素的-1倍将第三行化为零行

可得到行阶梯形矩阵

然后

利用初等列变换将第一行第二 三 四列的元素化为零

再将第二列的非零元素2化为1

并继续用列变换将第二行的元素-3和-1化为0

便得到矩阵A的标准形

类似地

请同学们完成下列关于矩阵等价标准形的练习

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了矩阵的初等变换

等价标准形

并介绍了行阶梯形和行最简形矩阵

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢