4.2 矩阵的特征值与特征向量在线视频

同学们好

今天我们来学习

特征值问题的第二讲

矩阵的特征值与特征向量

本讲内容包括

特征值与特征向量和矩阵的迹

首先我们来介绍

特征值与特征向量

同学们

如果两个向量对应元素成比例

则它们线性相关

事实上

Aα可视为将向量α作一个线性变换

包括旋转和伸缩

那么

变换前后的向量是否有线性关系呢

接下来我们举例说明

判断Aα与α是否线性相关

我们发现

第一个矩阵A与α的乘积等于3α

所以Aα与α线性相关

第二个却没有数乘关系

是线性无关的

下面我们来定义这种关系

设A为数域F上的n阶矩阵

若在数域F上存在数λ及非零列向量α

使得Aα=λα

则称λ为矩阵A的一个特征值

称α为A的属于特征值λ的一个特征向量

请注意

(1) 一个特征向量只能属于一个特征值

(2) 特征值问题是对方阵而言

并且特征向量α≠0

(3) 属于同一特征值的特征向量

的非零线性组合

仍是属于该特征值的特征向量

那么

如何求特征值与特征向量呢

由定义Aα=λα

移项可得线性方程组(A-λE)x=0

有非零解α

因此

利用|A-λE|=0

可求解A的特征值

同时

我们称|A-λE|为特征多项式

|A-λE|=0为特征方程

然后

依次将λᵢ 代入齐次线性方程组(A-λᵢ E)x=0

求出基础解系η₁ η₂ ...ηₙ₋ᵣ

即为A的属于λᵢ 的特征向量

其非零线性组合

也就是其通解为属于λᵢ 的全部特征向量

接下来我们举例说明

求二阶方阵A的特征值与特征向量

该矩阵的特征多项式为(4-λ)(2-λ)

解特征方程得到特征值λ₁ =2

λ₂ =4

当λ₁ =2时

求解线性方程组(A-2E)x=0

求得基础解系为η₁

则属于特征值λ₁ =2

的全体特征向量为k₁ η₁

类似地

当λ₂ =4时

求解线性方程组(A-4E)x=0

得基础解系为η₂

即属于λ₂ =4的全体特征向量为k₂ η₂

请留意

属于某一个特征值的特征向量并不唯一

例2

求三阶方阵A的特征值与特征向量

先写出特征多项式为(2-λ)(1-λ)的平方

解特征方程得到特征值为λ₁ =2

λ₂ =λ₃ =1

当λ₁ =2时

求解线性方程组(A-2E)x=0

求得基础解系为η₁

即属于特征值2的全体特征向量为k₁ η₁

类似地

当λ₂ =λ₃ =1时

此时特征值为特征方程的二重根

求解线性方程组(A-E)x=0

得基础解系为η₂

即属于二重特征值1的全体特征向量为k₂ η₂

同学们

例2显示

属于二重特征值的线性无关的特征向量只有一个

是否有可能存在两个

或者更多的线性无关的特征向量呢

类似地

请同学们完成下列关于

矩阵特征值与特征向量的练习

现在

我们讨论矩阵与特征值之间的对应变化关系

例3

已知λ为A的特征值

α为属于λ的特征向量

求A的逆的特征值与特征向量

我们可以在特征值定义式的两端

同时左乘A的逆

显然

等式左边等于α

则原等式变成λA的逆再乘α=α

化简得A的逆乘α等于1/λ乘α

其中λ≠0

即逆矩阵的特征值为1/λ

并且α还是其对应的特征向量

同学们

同理

你们可以求出

伴随矩阵的特征值与特征向量吗

接下来

我们来学习矩阵的迹

我们称n阶方阵A对角线元素之和为A的迹

记为这个tr(A)

其中aᵢⱼ 为矩阵A中的元素

由迹的定义

不难验证如下性质

(1) 两矩阵和的迹等于迹的和

(2) 数乘矩阵kA的 迹等于数k乘以A的迹

(3) 矩阵A与A的转置的迹相等

(4) 矩阵的迹等于其特征值之和

(5) 矩阵的行列式等于其特征值的乘积

显然

由性质5

得到|A|≠0

与λᵢ ≠0是等价的

例4

已知三阶方阵A的特征值为1 3 5

B=A²-2A

求trB与|B|

由特征值的定义

可推导出A平方的特征值

进一步可得B的特征多项式为

f(λ)=λ²-2λ

将A的特征值为1 3 5

分别代入多项式

即B的特征值为-1 3 15

因为迹等于特征值之和

所以trB=17

同理

由行列式等于特征值的乘积

则|B|=-45

类似地

请同学们完成下面关于矩阵多项式的练习

最后我们做一个小结

本讲我们学习了特征值与特征向量的定义与求法

矩阵的迹的定义与性质

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢