3.3 向量组的线性组合在线视频

同学们好

今天我们来学习线性方程组的第三讲

向量组的线性组合

本讲的内容包括n维向量及运算

和向量组的线性组合

首先我们介绍n维向量及运算

由n个数a₁ a₂… aₙ组成的有序数组

记为一行或者一列

称为n维向量

请注意写成一行的称为行向量

写成一列的称为列向量

其中aᵢ称为第i个分量

若干个维数相同的列向量

或行向量构成的集合称为向量组

分量全为0的向量称为零向量

分量都添一个负号称为负向量

显然向量是一行或者一列的矩阵

类似矩阵运算 n维向量可以定义相等

加法和数乘运算

同学们

向量的加法和数乘统称为线性运算

并且向量的线性运算满足如下交换律

结合律 分配律等运算规律

向量的线性运算比较简单

例如

已知向量α与β的两个线性和 求α与β

利用两个线性和相加

再消去公因数可得α+β

进一步作差即可求得α与β

那么如何描述多个向量之间的关系呢

现在我们学习向量组的线性组合

设有向量组(I)和向量β

若存在k₁ k₂ … kₘ

使得β等于k₁α₁+ k₂α₂+…+ kₘαₘ

则称β可由向量组(I)线性表示

或称β是向量组(I)的一个线性组合

其中k₁ k₂ … kₘ称为表示系数或者组合系数

例如 对任意n维向量组

零向量都是它的一个线性组合

表示系数全为零

同时任意向量都可由其自身所在的向量组线性表示

同学们

请问任一向量能否由其它的向量组线性表示呢

下面来看一个判定定理

设有向量β和向量组(I)

记α₁ α₂ … αₘ构成的矩阵为A

x是一个m维列向量

则β可由向量组(I)线性表示等价于

线性方程组Ax=β有解

结合定理2和线性方程组解的判定方法可知

判断β能否由向量组(I)线性表示的步骤为

(1) 写出线性方程组x₁α₁+x₂α₂+…+xₘαₘ=β

(2) 对其增广矩阵进行初等行变换

化为行阶梯形矩阵

(3) 若系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩

则β不能由α₁ α₂ … αₘ线性表示

否则可以线性表示

例如

判断β能否由α₁ α₂ α₃线性表示

若能 写出表示式

设有线性方程组x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β

对其增广矩阵进行初等行变换

化为行阶梯形矩阵

可以看出系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

因此β能由α₁ α₂ α₃线性表示

求表示系数

则进一步将行阶梯形矩阵化为行最简形

可得方程组的解 2 1 1 为所求的表示系数

请同学们完成下列关于向量线性表示的练习

下面我们进一步学习两个向量组之间的线性关系

设有两个n维向量组(I) α₁ α₂ … αₛ

和(II) β₁ β₂…βₜ

若向量组(II)中每个向量都能由向量组(I)线性表示

则称向量组(II)能由向量组(I)线性表示

请注意 如果向量组(II)能由(I)线性表示

则可表示为如下矩阵方程形式

其中x₁ᵢ x₂ᵢ … xₛᵢ为βᵢ

由α₁ α₂ …αₛ线性表示的表示系数

设有两个向量组(I)和(II)

将向量组(I)的向量作为列构成的矩阵为A

向量组(II)的向量构成的矩阵为B

则向量组(II)能由向量组(I)线性表示的充分必要条件是

矩阵A的秩等于分块矩阵(A,B)的秩

同时若向量组(I)和(II)能相互线性表示

则称向量组(I)和(II)等价

与矩阵等价相似

向量组的等价也具有反身性

对称性和传递性

不难验证

向量组(I)和(II)等价的充分必要条件是

矩阵A的秩等于矩阵B的秩

同时等于分块矩阵(A,B)的秩

接下来我们举例加以说明

设有三维向量组(I) α₁ α₂ 和(II) β₁ β₂

判断向量组(II)能否由向量组(I)线性表示

由定理3 记α₁ α₂构成的矩阵为A

β₁ β₂构成的矩阵为B

对分块矩阵(A,B)其进行初等行变换

化为行阶梯形矩阵

显然矩阵A的秩等于分块矩阵(A,B)的秩

因此向量组(II)能由向量组(I)线性表示

同学们

请问向量组(I)和(II)是否等价呢

事实上由行阶梯形矩阵可以进一步得到

矩阵B的秩也等于2

所以向量组(I)和(II)等价

类似地 请同学们完成

下列关于向量组线性表示的练习

最后我们做一个小结

本讲我们学习了n维向量及运算

向量组的线性组合和向量组等价

好的 我们今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢