1.3 行列式的性质在线视频

同学们好

今天我们来学习

行列式的第三讲

行列式的性质

本讲内容包括

行列式的性质和三角化计算行列式

首先我们来介绍

行列式的性质

以字母D表示元素为aᵢⱼ的n阶行列式

将D中的行换为同序数的列

称为行列式的转置

比如

将原来第一行的元素换到第一列

同时原来第一列的元素也相应地换为了第一行

事实上

转置是将第i行第j列的元素换到第j行第i列

转置后的行列式记为D右上角加字母T

性质1

行列式与它的转置相等

证明

我们记行列式D和其转置的元素分别为aᵢⱼ和bᵢⱼ

则有bᵢⱼ=aⱼᵢ

由行列式的定义

如果将转置之后的行列式按行标排列为标准次序

则元素bᵢⱼ依次对应转置之前的元素aⱼᵢ

是按列标排列为标准次序

这恰好是行列式D按列标确定的定义式

因此两者相等

同学们

性质1说明

行列式中的行与列具有同等地位

即对行成立的性质对列也同样成立

性质2

互换行列式的两行

或两列

行列式的值变号

证明

不妨互换行列式D中的i j两行得到行列式D₁

并将元素记为bᵢⱼ

显然

当k不等于i或者j时

bₖₚ=aₖₚ

否则

bᵢₚ=aⱼₚ

bⱼₚ=aᵢₚ

由行列式的定义

如果将D₁按行标排列为标准次序

则第i j两行的元素bᵢₚ

和bⱼₚ分别对应D中的元素aⱼₚ aᵢₚ

我们发现对应的列标排列保持不变

但是行标排列中的i j进行了一次对换

所以改变了行标排列的奇偶性

因此

行列式的值取相反数

由性质2可得

推论

如果行列式中有两行或两列

对应元素相同

则行列式的值为零

类似地

由行列式的定义

不难验证以下性质和推论

性质3

常数k乘行列式的某一行或列的元素

等于k乘行列式

推论2

行列式中某一行或列

所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面

同学们请问

如果公因子k = 0

性质3

又说明了什么呢

其实

说明了含有零行或零列的行列式等于零

推论3

如果行列式中有两行或列的元素对应成比例

则此行列式的值为零

性质4

若行列式中某一行或列的元素均为两个数之和

则可按照该行或列拆开为两个行列式

其余的行或列保持不变

比如

行列式D按第i列拆开

请留意其余各列的元素都保持不变

同时

性质3和4说明

行列式的乘积和拆开

是以其中的某一行或列为运算单元

性质5

将行列式的某一行或列的各个元素的k倍

加到另一行或列对应的元素上

行列式的值保持不变

利用性质3和4

容易证明性质5

这是行列式计算中化出0元的常用方法

通常记为rᵢ+krⱼ

下面我们举例说明上述性质的应用

例1

计算三阶行列式D

由于第三行的元素比较大

利用对角线法则也比较困难

我们不妨对第三行构造加法

再将第三行的元素拆开

得到的第一个行列式中第二行第三行的元素对应成比例

结果为0

而第二个行列式相对比较简单

由对角线法则计算结果等于5

同学们

你能证明下列关于行列式的等式吗

事实上

利用行列式的定义

可以方便地计算上三角

下三角和对角行列式的结果

那么

能否利用以上的性质将行列式进行三角化呢

现在我们来学习

三角化计算行列式的方法

例2

计算三阶行列式D

为了避免化零时出现分数

我们不妨互换第1 2行

行列式前会添加一个负号

然后

用第一行所有元素的2倍和-3倍

分别加到第二行和第三行对应的元素上

可将第一列的元素-2和3化为0

类似地

再将得到的行列式

第二行元素的8倍加到第三行

可得一个上三角行列式

因此

结果为主对角线上元素的乘积

例3

计算n阶行列式Dₙ

并讨论当a=0

和a=b时行列式的值

同学们

本行列式主对角线上的元素为b

其余的元素为a

那么

当a=0或a=b时

行列式的值分别等于多少呢

不难发现

本行列式的特征是

各行的元素之和相等

因此

如果我们将第2至第n列的元素依次加到第1列上

将会得到第1列的元素全部相同

那么

提出公因子[b+(n-1)a]之后

第一列的元素全为1

然后

我们用第一行各元素的-1倍

依次将其余各行的元素1化0

同时

也将各行的元素a化为0

便得到一个上三角行列式

答案为[b+(n-1)a](b-a)ⁿ⁻¹

类似地

请同学们完成下列关于行列式三角化的练习

最后我们做一个小结

本讲我们学习了行列式的系列性质

和利用三角化计算行列式的方法

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢