3.7 非齐次线性方程组解的结构在线视频

同学们好

今天我们来学习线性方程组的第七讲

非齐次线性方程组解的结构

本讲内容包括

非齐次线性方程组解的性质和解的结构

首先

我们介绍非齐次线性方程组解的性质

设η₁ η₂为非齐次线性方程组Ax=b的解

则η₁-η₂为其导出组Ax=0的解

由已知

Aη₁=b

Aη₂=b

所以A(η₁-η₂)=Aη₁-Aη₂=0

故结论成立

性质4

设η*为非齐次线性方程组Ax=b的解

η为其导出组Ax=0的解

则η+η*为非齐次线性方程组的解

由已知

Aη*=b

Aη=0

所以

A(η+η*)=Aη+Aη*=b

故结论成立

同学们

非齐次线性方程组两个解的线性组合是否还是它的解呢

例如

设α₁ α₂是非齐次线性方程组的两个不同解

则下列哪个选项仍为非齐次线性方程组的特解

因为α₁ α₂是非齐次线性方程组的两个不同解

由性质3有

A(α₁-α₂)=0

A(3α₁-2α₂)=b

类似地

将选项C代入方程组也等于b

因此

选项B和C正确

同学们

请注意

选项A说明了非齐次线性方程组两个解之差

将转化为对应的齐次线性方程组的解

现在我们来学习非齐次线性方程组解的结构

设η*为非齐次线性方程组Ax=b的一个特解

η₁ η₂ ...ηₙ-ᵣ为其导出组Ax=0的基础解系

则k₁η₁+k₂η₂+...+kₙ₋ᵣηₙ₋ᵣ+η*为非齐次线性方程组的通解

显然

这部分是导出组Ax=0的通解

所以非齐次线性方程组的通解

其实就是

其导出组的通解加它自身的一个特解

据此

我们可以得到非齐次线性方程组通解的求法

(1) 求出非齐次线性方程组Ax=b的一个特解

(2) 求出导出组Ax=0的基础解系

(3) 基础解系的线性组合加上特解

即为非齐次线性方程组的通解

下面我们举个例子

求一个四元非齐次线性方程组的通解

写出方程组的增广矩阵

对其进行初等行变换

化为行阶梯形矩阵

可以看出

系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

等于2小于未知量个数4

所以方程组有无穷多个解

继续将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵

写出原非齐次线性方程组的同解方程组

让自由未知量x₂ x₄的值取0 0

代入同解线性方程组

可得原非齐次线性方程组的一个特解η*

然后将

行最简形矩阵的最后一列换成零列

类似地

写出对应导出组的最简方程组

再让自由未知量x₂ x₄分别取

二维基本单位向量组的两个向量1 0 0 1

代入最简方程组

可得导出组的基础解系η₁ η₂

因此

所求非齐次线性方程组的通解为

k₁η₁+k₂η₂+η*

类似地

请同学们完成下列求非齐次线性方程组通解的练习

接下来再来看一个含有未知参数的例子

已知非齐次线性方程组的两个解ξ₁ ξ₂

求其通解

其中ξ₁=(0,1,0)

ξ₂=(-3,2,2)

同学们知道

非齐次线性方程组的通解由它自身的一个特解

和对应导出组的基础解系表示

由已知

特解已经有了

因此只需求出对应导出组的基础解系即可

然而

方程组的系数中含有未知参数

不能直接求出

不妨设方程组的系数矩阵为A

增广矩阵为(A|b)

由已知

方程组存在两个不相同的解ξ₁和ξ₂

这就意味着方程组有解且不唯一

因此有

系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A|b)的秩小于未知量个数3

又因为系数行列式中前两行

两列元素对应的二阶子式不等于0

所以

可推出系数矩阵A的秩等于2

从而对应导出组Ax=0的基础解系含有1个解向量

也就是说

导出组的任意非零解都是它的基础解系

所以

η=ξ₁-ξ₂=(3,-1,-2)为导出组的一个基础解系

从而

所求非齐次线性方程组的通解为kη+ξ₁

同学们

请问kη+ξ₂是所求方程组的通解吗

请同学们完成下列求非齐次线性方程组通解的练习

最后我们做一个小结

本讲我们学习了非齐次线性方程组解的性质

和非齐次线性方程组解的结构

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢