4.5 重点习题选讲在线视频

同学们好

今天我们来学习

特征值问题的第五讲 重点习题选讲

本讲内容包括

特征值与特征向量的重难点和典型习题选讲

首先

我们来回顾本章的重难点

矩阵特征值问题的重点是标准正交向量组

特征值与特征向量

相似矩阵与实对称阵的对角化

难点是特征值与特征向量的性质

矩阵相似的判定和应用

以及实对称阵的对角化

其中

相似矩阵是本章的重要内容

通常分以下三种情形来讨论

(1) 相似对角化的判定

(2) 实对称矩阵的相似问题

(3) 不确定矩阵的对角化

下面

我们分别举例说明

例1 设三阶矩阵A B C

其中C为对角阵

选项的内容是关于三个矩阵是否相似的判定

因为A B都是上三角矩阵

容易求出其值特征值均为2 2 1

恰好与对角阵C的特征值相同

所以

关于三个矩阵是否相似的判定

转化为A B能否对角化的问题

同时

对二重特征值2

不难验证r(A-2E)=1

r(B-2E)=2

换句话说

矩阵A中属于二重特征值2的线性无关的特征向量有两个

然而

矩阵B中却只有一个

所以

A可以对角化

B不能对角化

因此

选项B正确

例2

三阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是什么

选项是关于待定系数a b的取值

因为相似矩阵具有相同的特征值

对实对称阵而言

实际上是充分必要条件

我们先求出A的特征多项式为f(λ)

对角阵的特征值为主对角线上的元素2 b 0

所以2也是A的特征值

即f(2)=0

经过计算得a=0

同理

f(b)=0得到b为任意常数

因此

选项B正确

例3 设A为四阶实对称矩阵

如果A的秩为3

且满足A²+A=O

求A的相似对角矩阵

由特征值的定义得到A²α=λ²α

进一步可得λ²+λ=0

即A的特征值只能是0和-1

因为相似矩阵具有相同的秩且r(A)=3

因此选项B正确

例4 证明n阶矩阵A与B相似

证明

因为A为实对称阵

则A一定可对角化

不难求出其特征值为n 0 0 ...0

共有n-1个0

即A相似于对角矩阵

同理

我们求得B的特征值也为n 0 0 ...0

当λ=0时

r(B-0E)=r(B)=1

即矩阵B的n-1重特征值

存在n-1个线性无关的特征向量

所以

B可对角化

即B也相似于同样的矩阵

再利用相似矩阵的传递性

得到A与B相似

现在

我们进一步举例说明不确定矩阵的对角化

例5 设A为三阶矩阵

当k为何值

存在可逆阵P

使得P⁻¹AP=Λ

即矩阵A可对角化

我们写出A的特征方程

并解得特征值为λ₁ =1

λ₂ =λ₃ =-1

若A能对角化

则A的二重特征值存在两个线性无关的特征向量

即对应齐次线性方程组的系数矩阵r(A+E)=1

同时

我们写出矩阵A+E

发现第三行可以化为零行

要使得秩为1

则含有元素k的第二行将与第一行线性相关

容易得到k=0

在k确定后

矩阵A就相应确定了

我们分别求得特征值λ₁ =1

对应的特征向量α₁

λ₂ =λ₃ =-1对应的特征向量

α₂ α₃

令P=(α₁,α₂,α₃)

则P⁻¹AP=Λ

例6 设A B为三阶方阵

其中矩阵A未知

可逆矩阵C的3个列向量为α₁ α₂ α₃

且满足AC=CB

求A的特征值

并求可逆矩阵P

使得P⁻¹AP=Λ

由题意

可得C⁻¹AC=B

即A∽B

容易求出B的特征值为1 1 4

因为相似矩阵具有相同的特征值

所以A的特征值也为1 1 4

同时

我们分别求出B的属于特征值1和4的线性无关的

特征向量为η₁ η₂ η₃

令P₁=(η₁,η₂,η₃)

故矩阵B可对角化

另一方面

将B=C⁻¹AC代入对角化等式

可以得到CP₁的逆乘A再乘CP₁等于对角阵

再令P=CP₁

经过计算

矩阵P可用矩阵C的列向量表示出来

即得P⁻¹AP=Λ

请同学们完成下面关于相似矩阵的练习

最后

我们做一个小结

本讲我们归纳了特征值与特征向量的重点 难点

选讲了关于矩阵相似的部分典型习题

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢