2.3 逆矩阵在线视频

同学们好

今天我们来学习

矩阵的第四讲逆矩阵

本讲内容包括

逆矩阵的概念和逆矩阵的性质

首先

我们来介绍逆矩阵的概念

同学们

一元线性方程ax=b在系数a不为0时

可以得到唯一解a的-1次乘b

那么

这一结论能否推广到矩阵方程AX=B呢

我们先来看一个引例

已知二阶矩阵AB

且元素满足条件ad-bc=1

求矩阵AB和BA

由矩阵乘法不难验证AB=E

同理可得BA=E

即乘法满足交换律

并且乘积等于单位矩阵

为了描述矩阵的这一特性

我们给出逆矩阵的定义

定义10

对n阶矩阵A

如果存在同阶矩阵B

使得乘积AB=BA=E

则称矩阵A可逆

并称B为A的逆矩阵

记为A的-1次

关于逆矩阵

我们作两点说明

(1) 如果矩阵A可逆

则其逆矩阵唯一

也就是说

如果A有两个逆矩阵B和C

利用定义可以证明B=C

(2) 由方阵的行列式性质可知

如果矩阵A可逆

则A的行列式不等于0

那么

对应的行列式不等于0的矩阵是否一定可逆呢

下面

我们先引入两个名词

定义11

若n阶矩阵A的行列式不等于0

称A为非奇异矩阵

反之

称A为奇异矩阵

也就是说

可逆矩阵一定是非奇异矩阵

定义12

设n阶矩阵A中元素aᵢⱼ的代数余子式Aᵢⱼ

将Aᵢⱼ按其下标对应的位置依次排成矩阵

并取转置得A*

我们称A*为矩阵A的伴随矩阵

伴随矩阵具有如下重要性质

AA*=A*A=|A|E

利用方阵的行列式性质进一步可得

|A*|=|A|的n-1次方

证明

记A的元素aᵢⱼ

AA*的元素为bᵢⱼ

利用矩阵乘法和伴随矩阵的定义

并结合第i行元素与第j列元素对应代数余子式乘积的性质

可以证明AA*是以A的行列式为主对角线上元素的对角矩阵

同理

交换因子顺序后

结论仍然成立

在此基础上

我们给出矩阵可逆的判定依据和求法

定理1

矩阵A可逆的充要条件是|A|不等于0

并且A的逆矩阵等于1/|A|乘A*

先证必要性

由逆矩阵的定义

可得A乘A的逆矩阵的行列式等于1

显然

A的行列式不等于零

我们再证充分性

利用伴随矩阵的重要性质

因为A的行列式不等于零

可将A的行列式除到等式的左端

结合定义即得到A的逆矩阵公式

同时

可得如下推论

如果AB=E或BA=E

则B是A的逆矩阵

推论简化了逆矩阵定义中的交换性条件

接下来

我们举例说明逆矩阵的求法

例1 求三阶方阵A的逆矩阵

不难验证

A的行列式等于2

故A可逆

在A的行列式中划去第一行

第一列元素得到代数余子式A₁₁=2

然后

划去第一行

第二列元素可得A₁₂=-3

同理

可以求出其余的代数余子式

由伴随矩阵的定义

将上述代数余子式按其下标对应的位置依次排列成矩阵

并取转置可得伴随矩阵A*

再由定理1的结论

等于二分之一乘以伴随矩阵

进一步整理可得A的逆矩阵

类似地

请同学们完成下列关于逆矩阵的练习

并留意逆矩阵的特征

例2 设方阵A满足A²-A-2E=O

试证明A和A+2E可逆

并求其逆矩阵

证明

由已知整理可得A²-A=A(A-E)=2E

在等式两端同时除以2

得到A[½(A-E)]=E

在等式两端取行列式即得A可逆

并且逆矩阵为[½(A-E)]

同学们

你能判定并求解A+2E的逆矩阵吗

现在

我们来学习逆矩阵的性质

设A B为同阶可逆方阵

k为非零实数

则有如下性质

(1) A的逆矩阵也可逆

并且其逆矩阵等于A

(2) 数乘kA的逆矩阵等于k分之一乘A的逆矩阵

(3) 乘积AB可逆

且AB的逆矩阵等于B的逆矩阵乘以A的逆矩阵

性质4 A的转置可逆

并且转置和求逆矩阵可以交换顺序

我们举例来说明这些性质

例3 已知A*为三阶矩阵A的伴随矩阵

并且|A|=½

求3A的逆矩阵减2A*的行列式

因为|A|=1/2

即A可逆

并且A的逆矩阵等于2A*

代入所求的行列式

合并得到-⅔A的逆矩阵的行列式

再结合方阵的行列式性质

移出公因子并整理得到-16/27

请同学们完成下列关于逆矩阵性质的练习

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了逆矩阵的概念

矩阵可逆的判定

求法和相关性质

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢