2.1 矩阵的概念在线视频

同学们好

从本次课开始

我们将进入《线性代数》第二章

矩阵的学习

早在1850年英国数学家西尔维斯特

首先使用了矩阵这一术语

事实上直到1858年

英国数学家凯莱在《矩阵论的研究报告》中

率先介绍了矩阵相等 零矩阵 单位矩阵的概念

定义了矩阵的和乘积转置和逆矩阵等

他明确指出

矩阵是从行列式的概念而来

或者是作为表达一个线性方程组的便利方法而来

此后矩阵理论不断发展

并广泛应用于社会生活 经济管理

和科学技术等领域

现实生活中

无论是银行的外汇牌价 证券投资

还是机场的航班信息

网购商品的分类

和同学们的课表都与矩阵密切相关

今天我们来学习第一讲

矩阵的概念

本讲内容包括

矩阵的概念和几类特殊的矩阵

首先 我们来介绍矩阵的概念

先看两个引例

假设同学们在超市购买的商品名称

数量经整理如下表

也就是说

如果我们固定商品的排列顺序

那么同学们购买的商品数量

可简单表示为一个数据表A

并且第一行的2 0 3 4 1

表示同学甲购买的商品数量

据此可以计算出同学应该支付的金额

同时第一列的2 1 3 4

分别表示四位同学购买的签字笔的数量

据此可以统计超市签字笔的销量

事实上

上述商品的单价也可以依次记为一组数据

引例2

我们考虑有m个方程

n个未知变量的线性方程组

当m=n时

由Cramer法则可知

方程组的解将由系数行列式和常数项共同确定

但是如果m不等于n

我们无法得到方程组的系数行列式

却仍然可以类似提取各个方程的系数

并排列成一个矩形的数表

并且第一行表示第一个方程的系数

第一列表示方程组的未知变量x₁的系数

同理 常数项也可以排成一列的数组

为了清晰表示上述数量关系

我们给出矩阵的定义

由m乘n个数aᵢⱼ所排成的矩形数表

称为m行n列的矩阵

记为Aₘₓₙ或(aᵢⱼ)ₘₓₙ

其中aᵢⱼ表示第i行第j列的元素

如果元素为实数则称A为实矩阵

如果元素为复数则称A为复矩阵

同学们请注意以下几点

(1) 如果m=n我们称A为n阶方阵

(2) 如果m=1则称A为行向量

同理如果n=1则称A为列向量

(3) 如果元素aᵢⱼ全等于零我们称A为零矩阵

(4) 同理 如果n阶方阵主对角线上元素全为1

其余的元素都等于0

则称A为n阶单位矩阵 记为字母E

通常我们称具有相同行数

和列数的矩阵为同型矩阵

定义2 设A B为同型矩阵

如果A中的元素aᵢⱼ与B中的元素bᵢⱼ对应相等

则称矩阵A=B

比如

设矩阵A B相等

求未知量x y z

由矩阵相等的定义

利用对应位置的元素相等

可得如下的三元方程组

解出未知量依次为1 2 0

同学们请问

所有的零矩阵是否相等

所有的单位矩阵呢

现在我们引入几类特殊的矩阵

定义3 在n阶方阵A中

如果除了主对角线上

其余的元素全为零

则称A为对角矩阵

有时我们也用主对角线上的元素表示对角矩阵

如果对角线上的元素全为1

此时的对角矩阵就是单位矩阵

如果主对角线上的元素等于某个常数

则称其为数量矩阵

定义4 在n阶方阵A中

如果对角线以下的元素全为零

则称A为上三角矩阵

反之如果主对角线以上的元素全为零

则称A为下三角矩阵

同学们你能准确区分三角形矩阵

和三角形行列式吗

下面 我们举例说明矩阵的应用

例2 打开百度地图可以发现

长江和嘉陵江流经重庆主城区

大桥成了城区的重要通道

请用矩阵表示跨江大桥的分布情况

为了方便表示

我们用字母A B C D E分别表示

渝中区 南岸区等主城区

那么

跨江大桥的分布可以简化为如下的字母连接图

如果将字母依次按行列

分别表示大桥的起点和终点

并以0 1分别表示两个城区无桥和有桥连接

便可以得到主城区跨江大桥的表示矩阵

同时如果我们将连接各主城区大桥的数量

引入简化的字母连接图

进一步可以得到主城区跨江大桥数量的矩阵

同学们你能说明本矩阵第一行的元素

表示的含义和本矩阵的特征吗

类似地

请同学们完成下列关于矩阵应用的练习

最后 我们做一个小结

本讲我们学习了矩阵的概念

介绍了几类特殊的矩阵和矩阵的应用

好的 今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢