3.8 向量空间在线视频

同学们好

今天我们来学习线性方程组的第八讲

向量空间

本讲的内容包括

向量空间的相关概念

坐标及变换公式

首先

我们来介绍向量空间

设V是一个n维向量的集合

若V非空

且V对于n维向量的加法和数乘运算封闭

加法封闭是指在V中任取两元素之和仍属于V

数乘封闭是指V中任取元素α

数乘kα仍属于V

满足这两个条件

则称集合V为R上的向量空间

设有两个向量空间V₁和V₂

若V₁包含于V₂

则称V₁是V₂的子空间

例如

判断下列集合是否为向量空间

第一个

因为齐次线性方程组有零解

所以集合S含有零向量非空

在S中任取向量α β

显然

α+β属于S

kα也属于S

所以S是一个向量空间

同学们

你们发现了吗

本例中

加法和数乘的封闭

实际上是齐次线性方程组解的两个性质

所以

我们通常称集合S为n元齐次线性方程组的解空间

第二个

Rⁿ是全体n维向量构成的集合

显然是非空的

在集合中任取两个向量x和y

任取实数k

容易验证

x+y属于Rⁿ

kx也属于Rⁿ

因此

集合Rⁿ对加法和数乘运算封闭

是一个向量空间

通常称其为n维向量空间

此外

因为S和Rⁿ都是向量空间

显然

S包含于Rⁿ

所以这里S是Rⁿ的子空间

那么

如何表示一个向量空间呢

下面

我们定义向量空间的基

设V是一个向量空间

若V中r个向量α₁ α₂ ...αᵣ满足

(1) 线性无关的

(2) V中任一向量都可以由α₁ α₂ ...αᵣ 线性表示

则称这r个向量为向量空间V的一组基

称数为V的维数

简记为dimV

并称V是r维向量空间

同学们

请问基的定义和前面学过的哪一个概念相似呢

下面

举一个向量空间基的例子

因为n维基本单位向量组

ε₁ ε₂ ...εₙ线性无关

并且可以表示任意的n维向量

所以它是n维向量空间Rⁿ的一组基

通常称其为自然基

类似地

向量组α₁ α₂ ...αₙ

也是n维向量空间Rⁿ的一组基

显然

向量空间的基并不唯一

请同学们完成下列关于向量空间的练习

同学们

既然向量空间的基不唯一

那么不同的基之间是否存在某种联系呢

现在

我们来学习坐标及变换公式

设V是向量空间

α₁ α₂ ...αᵣ是它的一组基

那么V中任一向量α可唯一表示为x₁α₁+x₂α₂+...+xᵣαᵣ

称有序数组x₁ x₂ ...xᵣ为α在基

α₁ α₂ ...αᵣ下的坐标

注意

由该定义可知

求已知向量在给定基下的坐标

实际上是求线性表示对应的线性方程组的解

下面举一个坐标的例子

已知向量α和二维向量空间的两组基

求α分别在这两组基下的坐标

显然

α=2ε₁+3ε₂

所以

α在基ε₁ ε₂下的坐标是2 3

又因为α=2β₁+β₂

所以α在基β₁ β₂下的坐标是2 1

同学们请注意

由此例不难发现

同一向量在不同基下的坐标是不一样的

类似地

请同学们完成下列求基下坐标的练习

接下来

我们来引入三维向量空间的基和坐标的变换公式

设α₁ α₂ α₃

和β₁ β₂ β₃是三维向量空间的两组基

则称(β₁,β₂,β₃)=(α₁,α₂,α₃)P

为从基α₁ α₂ α₃

到基β₁ β₂ β₃的基变换公式

其中矩阵P称为过渡矩阵

设向量x在基α₁ α₂ α₃下的坐标为x₁ x₂ x₃

在基β₁ β₂ β₃下的坐标为y₁ y₂ y₃

则称

这两个公式

为x₁ x₂ x₃与y₁ y₂ y₃之间的坐标变换公式

下面

我们来看一个相应的例子

已知二维向量空间的两组基

求从基α₁ α₂到基β₁ β₂的过渡矩阵

并求坐标变换公式

设所求过渡矩阵为P

则有

(β₁,β₂)=(α₁,α₂)×P

代入两组基的值

可得矩阵方程

解矩阵方程即可得过渡矩阵 P

设向量x在基α₁ α₂下的坐标为x₁ x₂

在基β₁ β₂下的坐标为y₁ y₂

则坐标变换公式x₁ x₂等于过渡矩阵乘以y₁ y₂

最后

我们做一个小结

本讲学习了向量空间的相关概念和基变换公式

坐标变换公式

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢