4.1 向量的内积在线视频

同学们好

从本次课开始

我们将进入《线性代数》第四章

特征值与特征向量的学习

本章的主要内容包括向量的内积

特征值与特征向量

相似矩阵与对角化

实对称阵的对角化

本章的重点是标准正交向量组

特征值与特征向量

相似矩阵与实对称矩阵的对角化

这也是经济管理

工程技术领域中分析许多动态模型和控制问题的重要工具

今天我们来学习第一讲向量的内积

本讲内容包括

向量的内积和正交向量组

首先

我们来介绍向量的内积

假设α与β为两个n维列向量

我们称α的转置乘β为向量α与β的内积

计算公式为α与β的对应坐标分量乘积之和

显然

内积的最终结果是一个数值

由向量的内积的定义

可得内积的性质

(1) 交换律

(2) 关于数乘向量的结合律

(3) 分配律

(4) 非负性

向量自身作内积大于等于零

显然

等号成立当且仅当该向量为零向量

由内积的非负性

可定义向量的长度

将任意向量α与它自身的内积的平方根

定义成向量α的长度

或者范数

记成这样的记号

计算公式为坐标分量的平方和再开方

我们称长度等于1的向量为单位向量

同学们

任意非零向量α都可通过除以自身的长度将其单位化

也可以理解成将α拉长或者缩短直到长度变成1

方向保持不变

由向量长度的定义

可得到如下性质

(1) 非负性

(2) 齐次性

(3) 三角不等式

(4) 柯西-施瓦茨不等式

现在我们来学习正交向量组

若向量α与β的内积等于零

则称α与β正交

显然

零向量与任意同维数的向量都正交

如果非零向量组中的向量两两正交

则称该向量组为正交向量组

比如

判断α₁ 与α₂ 是否正交

若正交

求α₃

使得α₁ α₂ α₃ 为正交向量组

将α₁ 与α₂ 作内积

显然等于零

所以α₁ 与α₂ 是正交的

假设非零向量α₃ 的坐标为x₁ x₂ x₃

由正交向量组的定义

α₃ 与α₁ 和α₂ 分别正交

即α₃ 与它们的内积都等于零

可得齐次线性方程组

解出α₃

得到的向量组α₁ α₂ α₃ 为正交向量组

下面

我们介绍正交向量组的一个重要结论

定理1

如果α₁ α₂ ...αₛ 为正交向量组

则该向量组线性无关

利用向量组的线性组合

向量的正交

和长度的定义

不难证明这个结论

请注意

线性无关的向量组却不一定是正交向量组

那么

线性无关的向量组是否可以正交化呢

接下来

我们介绍标准正交化方法

第一 正交化

即施密特正交化方法

先令β₁ 等于α₁

β₂ 等于α₂ 减

β₁ 与自身的内积分之α₂ 与β₁ 的内积

再乘β₁

类似地

可得βₛ

它是αₛ 与β₁ β₂ ...βₛ₋₁ 的线性组合

即β₁ β₂ ...βₛ 为正交的向量组

第二 单位化

将βᵢ 除以自身的长度进行单位化

得到的η₁ η₂ ...ηₛ 为标准正交向量组

例如已知α₁ α₂ α₃

用施密特正交化方法将其标准正交化

令β₁ 等于α₁

β₂ 等于α₂ 减β₁ 与自身的内积分之

α₂ 与β₁ 的内积再乘β₁

代入已知

得到5/3乘以-1 1 1为元素的三维向量

同理可得β₃

则β₁ β₂ β₃ 为正交向量组

再将其依次单位化

得到η₁ η₂ η₃ 为标准正交向量组

请注意

在标准正交化中

一定要先正交化

再单位化

若向量具有 kα的形式

则k不影响其单位化和正交化

比如

β₃ 中的 2 不影响单位化的结果

同学们

你能解释这个简化的性质吗

类似地

请同学们完成下列关于正交向量组的练习

定义4

设方阵A满足A乘A的转置等于单位阵

则称A为正交矩阵

显然

正交矩阵具有如下性质

(1) 若A为正交矩阵

则A的行列式等于1或-1

(2) 若A B为正交矩阵

则AB也为正交矩阵

(3) 若A为正交矩阵

则A的转置

A的逆也为正交矩阵

(4) 若A为正交矩阵

则A的转置等于A的逆

除定义之外

怎么判断一个矩阵是否为正交矩阵呢

定理2

正交矩阵的充分必要条件是其列向量组

或行向量组

为标准正交向量组

比如

判别三阶方阵A是否为正交矩阵

经验证

A中的第一列与第二列向量的內积不等于零

所以A的列向量组不是正交向量组

因此

A不是正交矩阵

另外

第三个列向量不是单位向量

也可说明A不是正交矩阵

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了向量的内积

标准正交化方法和正交矩阵

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢