附4：相似对角化的逆问题在线视频

同学们好

矩阵的特征值

和特征向量

一直是研究生入学考试的重要内容

如果矩阵已知

我们不难求出

对应的特征值和特征向量

然而

如果矩阵未知

我们又如何利用已知的特征值

或特征向量

进一步讨论矩阵的相似对角化呢

今天

我们将重点学习

矩阵特征值

和实对称矩阵的逆问题

首先

我们来介绍矩阵特征值的逆问题

通常

这类问题是指

已知部分或全部特征值

或特征向量

利用特征值的定义

和矩阵相似的性质

来求解矩阵的未知元素或者可逆矩阵

下面

我们举例进行说明

例1

已知含有两个未知元素的矩阵A

其中一个特征向量为α

求未知元素x y

由矩阵特征值和特征向量的定义

我们将已知的特征向量直接代入定义

利用矩阵乘法可以得到一个

关于x y的线性方程组

求解得到元素x=-2 y=6

例2

已知含有未知元素的三阶矩阵A

其特征值分别为-2和4

求未知元素a b

因为特征值是特征方程的解

所以

我们不妨写出A的特征方程

并将-2和4分别代入特征方程

可以得到一个关于元素

a b的齐次线性方程组

化简可得a=-5 b=4

例3

已知矩阵A与对角矩阵相似

并且α₁ 是矩阵A

属于特征值1的特征向量

α₂ α₃ 是属于

特征值5的两个线性无关的特征向量

则可逆矩阵P不可能是下列哪一项呢

由A与对角矩阵相似可知

主对角线上的元素1 5

5为矩阵A的特征值

我们在相似的定义式两端左乘矩阵P

并结合分块矩阵的乘积

可得P是以α₁ α₂ α₃

为列向量的矩阵

因为α₂和α₃

是属于二重特征值5的特征向量

所以在矩阵P中的位置可以交换

故选项A正确

同时

k₂α₂ +k₃α₃

是属于5的全部特征向量

并且α₂ +α₃

与α₂ -2α₃ 线性无关

所以选项B正确

类似地

α₂ 是属于5的特征向量

其负向量也是属于5的特征向量

然而

属于不同特征值的两个特征向量之和

却不再属于其中任何一个特征值

因此选项D错误

同学们

矩阵能否

对角化主要取决于

线性无关的特征向量个数

并且实对称矩阵一定可以对角化

那么

如果实对称矩阵未知

又如何进行对角化呢

现在

我们来学习实对称矩阵的逆问题

通常

这类问题是指

已知部分或全部

特征值或者特征向量

利用特征值的定义和正交的性质

求解实对称矩阵

比如

设三阶矩阵满足Aαᵢ =iαᵢ

其中α₁ α₂ α₃ 已知

求矩阵A

由A的特征值1 2 3

全为单根

所以A可以对角化

我们将α₁ α₂ α₃

排列成矩阵

并整理对角化公式可得

A等于P乘对角矩阵

再乘P的逆矩阵

然后

代入矩阵P和对角矩阵

计算可得实对称矩阵A

例5

已知三阶实对称阵A的特征值为-1 1 1

并且属于特征值-1的特征向量为α₁

求矩阵A

因为A为实对称矩阵

所以一定可以进行对角化

并且属于不同特征值的特征向量相互正交

我们不妨假设属于二重特征值

1的特征向量为α

则α与α₁ 的内积为零

不难求出α₂ α₃

并将其依次排列成可逆矩阵P

类似地

我们将矩阵P与对角阵

代入A的表达式计算可得

同学们

求实对称矩阵A需要先计算P的逆矩阵

那么

除了初等变换法

还存在其它求解逆矩阵的方法吗

下面

我们举例进一步说明

例6

已知三阶实对称矩阵A的秩为2

且A满足矩阵乘积关系

求矩阵A

因为A的秩为2

所以A的行列式等于零

由特征值与行列式的关系

可得0为矩阵A的特征值

观察发现

矩阵乘积中

等式两端的第一列向量存在-1倍关系

所以

将右乘矩阵按列分块

由第一列对应乘积

可得-1为矩阵A的特征值

类似地

由第二列可得1为A的特征值

并且将这两列向量分别记为

对应的特征向量α₂ α₃

同时

设属于特征值0的特征向量为α₁

利用实对称阵

属于不同特征值的特征向量

相互正交的性质

可得齐次线性方程组

并解出α₁

然后

再将α₁ α₂ α₃ 正交化

单位化

得到标准正交向量组η₁ η₂ η₃

请注意

α₁ 为单位向量

并且与其余的特征向量正交

所以

本例中只需将α₂ α₃ 正交化

单位化即可

类似地

将该标准正交向量组排成矩阵Q

则Q是正交矩阵

其逆矩阵等于自身的转置

同理

代入正交矩阵Q

和由特征值生成的对角矩阵可以得矩阵A

同学们

就相似对角化而言

你认为

利用初等变换

和标准正交化方法求解逆矩阵P

哪一个更简单呢

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了

矩阵特征值的逆问题

和实对称矩阵的逆问题

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢