重点习题选讲在线视频

同学们好

今天我们来学习矩阵的第九讲

本章的重点习题选讲

本讲内容包括

矩阵的重难点释疑和典型习题选讲

首先

我们来回顾本章的重难点

矩阵的重点是

矩阵的概念

矩阵的运算

逆矩阵

分块矩阵

初等变换和矩阵的秩

难点是分块矩阵的性质

初等矩阵和矩阵的秩

其中

矩阵的初等变换是本章的重要内容

主要应用有以下几方面

(1) 求逆矩阵

(2) 求分块矩阵及方阵的行列式

(3) 求解矩阵方程

(4) 求行最简形矩阵和矩阵的秩

同学们知道

初等变换可以求解已知矩阵的逆矩阵

下面

我们进一步说明两者之间的联系

例1

设A为n阶非零矩阵

如果A³=O

则下列结论正确的是

由于选项是关于矩阵是否可逆的判定

结合逆矩阵的定义

不妨在A³=O的两端添加单位矩阵

构造E+A³=E

类似地

我们也可以构造E-A³=E

再利用立方差公式进行因式分解

可以得到矩阵E-A可逆

同理可得

矩阵E+A也可逆

因此

选项(C)正确

设A为三阶可逆矩阵

如果将A的第一行乘以-2得到矩阵B

则下列关于B的逆矩阵正确的结论是

由初等矩阵的性质

将A的第一行乘以-2得到矩阵B可以表示为

初等矩阵E[1(-2)]左乘A等于B

再利用逆矩阵的性质

可得B的逆矩阵等于A的逆矩阵

右乘初等矩阵的逆矩阵E[1(-1/2)]

因此

选项(A)正确

同学们

你能运用矩阵的初等变换求解如下乘积的逆矩阵吗

现在

我们举例说明初等变换在分块矩阵中的应用

例3

已知四阶列分块矩阵A和B

并且行列式分别为3和-2

求矩阵A+2B的行列式

由分块矩阵的加法

先按列向量计算矩阵A+2B

再对分块矩阵取行列式

并分别提取第一列至第三列的公因子3 -1 5

可得系数-15

然后

按第四列将行列式拆开

得到两个分块矩阵对应的行列式之和

经比较发现

第二个行列式与分块矩阵B的列向量不相同

利用行列式的性质

依次调整第二列至第四列的系数

可以得到两个行列式之差

结合已知进一步可得行列式的结果

例4

设A为三阶矩阵

分块矩阵P为可逆矩阵

并且P的逆矩阵AP为对角矩阵

已知Q也为分块矩阵

求Q的逆矩阵AQ

由题意

可将分块矩阵Q表示为P与初等矩阵的乘积

再利用逆矩阵的性质

表示Q的逆矩阵AQ

然后

代入已知的对角矩阵

并结合初等矩阵的逆矩阵和左右乘性质

可以得到结果恰好等于已知的对角矩阵

例5

设A B为三阶矩阵

其中A已知并满足矩阵方程

求矩阵B

由题意

对角矩阵A可逆

在矩阵方程两端同时右乘A的逆矩阵

化简并移项可得A的逆矩阵减E乘以B等于6倍单位矩阵

不难验证

括号中系数矩阵的行列式不等于零

所以

矩阵B等于6倍系数矩阵的逆矩阵

因此

利用对角矩阵的逆矩阵性质

并结合矩阵的数乘进一步可以得到B也为对角矩阵

并且主对角线上的元素依次为3 2 1

同学们知道

利用初等变换得到的行阶梯形或行最简形矩阵

其非零行数等于原来矩阵的秩

接下来

我们补充两个关于矩阵秩的例子

例6

设矩阵A含有未知参数a

矩阵B不等于零但乘积AB为零矩阵

求参数a和矩阵A的秩

先将矩阵B按列分块

利用分块矩阵的乘法和相等

可得B的列向量均为齐次线性方程组Ax=0的解

因为B不等于零

即齐次线性方程组存在非零解

由克莱姆法则可知

系数矩阵A的行列式等于零

然后

将行列式的第二列的元素加到第三列上

降阶可得5倍a-1

进一步可得参数a=1

同时

观察发现

A的行列式中存在一个二阶非零子式

因此

矩阵A的秩等于2

例7

已知矩阵AB=E

则下列关于A B的秩

正确的结论是

由矩阵乘法的条件可知

AB为m阶单位矩阵

即AB的秩为m

因为矩阵乘积的秩小于等于因子的秩

所以

A和B的秩都大于等于m

另一方面

由矩阵秩的定义

A和B的秩都小于等于其行数或列数m

因此

矩阵A和B的秩都等于m

即选项(A)正确

最后

我们做一个小结

本讲我们归纳了矩阵的重点和难点

选讲了部分应用初等变换求解逆矩阵

分块矩阵

矩阵方程和秩的典型习题

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢