2.2 矩阵的运算（一）在线视频

同学们好

今天我们来学习矩阵的第二讲

矩阵的运算(一)

本讲内容包括

矩阵的线性运算和矩阵的乘法

首先

我们来介绍矩阵的线性运算

同学们知道

同型是两个矩阵相等的前提条件

那么

矩阵的运算

是否也需要满足一定的条件呢

下面

我们定义矩阵的加法与数乘

定义5

设AB为m行n列的同型矩阵

则A与B的和记为C

其中C也是m行n列的矩阵

并且元素cᵢⱼ=aᵢⱼ+bᵢⱼ

比如

已知二阶矩阵A和B

分别求AB的和与差

将矩阵AB中对应位置的元素依次作和

即得第一行的元素为2 8

第二行的元素为6 6的矩阵

同学们

矩阵A与B的差你学会了吗

矩阵的加法

满足如下的交换律

结合律等四条运算性质

请注意

两个矩阵作和的前提条件

仍然是同型矩阵

定义6

实数λ与矩阵A的乘积

称为矩阵的数乘

记作λA=λaᵢⱼ

即将数λ乘到矩阵的每一个元素上

显然

矩阵的数乘满足如下的结合律

分配律等四条性质

例2

已知两个三行四列矩阵AB

求A-2B

先将矩阵B作2倍的数乘

即将B的元素全都乘以2

然后

再用A与数乘矩阵的

对应元素分别相减

不难得到答案为三行四列的矩阵

请注意

矩阵的加法和数乘

统称为线性运算

同学们

矩阵的数乘就是矩阵的乘积吗

其实

矩阵的数乘并不是矩阵的乘积

现在 我们来学习矩阵的乘法

定义7

设A为m行s列的矩阵

B为s行n列的矩阵

我们称C为A与B的乘积

记作C=AB

其中乘积矩阵C的第i行第j列的元素

等于A的第i行与B的第j列对应的元素乘积之和

即cᵢⱼ=∑aᵢₖbₖⱼ

同学们请注意

矩阵乘法的条件是

左乘矩阵A的列数

等于右乘矩阵B的行数s

乘积矩阵C的行为左乘矩阵A的行数m

列为右乘矩阵B的列数n

下面 我们举例来说明矩阵的乘积

例3

已知三行四列的矩阵A和四行三列的矩阵B

求AB

由矩阵乘积的条件可知

乘积AB为三阶方阵

我们选左乘矩阵的第一行的元素1 0 -1 2

右乘矩阵第一列的元素0 1 3 -1

依次乘积并做代数和

结果为-5

然后

左乘矩阵第一行的元素保持不变

右乘矩阵依次选第二 三列

分别乘积得到代数和为6和7

继续选左乘矩阵A的第二行

右乘矩阵B依次选一二三列

分别可得到

乘积矩阵第二行的元素为10 2 -6

类似地

再选左乘矩阵A的第三行

可得到AB的乘积结果

同学们请问

乘积AB=BA吗

事实上

AB为三阶方阵

而BA为四阶方阵

两者并不同型

所以不相等

类似地

请同学们完成下列关于矩阵乘积的练习

关于矩阵乘法的运算规律

我们做如下说明

一 矩阵乘法满足结合律

分配律

然而

受乘积条件的限制

矩阵乘法一般不满足交换律

二 对 A 左乘和右乘的单位矩阵

阶数可能不同

三 矩阵的乘幂是定义在方阵上的

请注意

由于矩阵乘法一般不满足交换律

可以推导出(AB)的k次幂

一般也不等于A的k次幂乘以B的k次幂

下面 我们举例进一步说明

例4

已知二阶矩阵AB

分别求AB与BA

由矩阵乘法

不难验证乘积AB=O矩阵

然而BA却不等于零矩阵

显然

乘积AB不等于BA

那么

是否存在乘积满足交换律的矩阵呢

事实上

是存在的

比如

当A为数量矩阵时

乘积AB=BA

此时

我们也称AB为可交换矩阵

同时

例4说明

乘积AB=O

不能推导出因子A=O或者B=O

同学们

本结论的逆命题是否成立呢

请同学们完成下列

关于矩阵运算和应用的练习

最后 我们做一个小结

本讲我们学习了矩阵的加法

数乘

即矩阵的线性运算

和矩阵的乘法

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢