3.2 线性方程组解的判定在线视频

同学们好

今天我们来学习 线性方程组的第二讲

线性方程组解的判定

本讲内容包括

非齐次线性方程组

和齐次线性方程组解的判定

首先我们来介绍非齐次线性方程组解的判定

我们知道

通过对增广矩阵进行消元 回代

可以求线性方程组

然而是否每个线性方程组都有解呢

我们来看一个例子

当a为何值时线性方程组有解

并在有解时求出方程组的解

利用消元法

我们写出线性方程组的增广矩阵

对其进行初等行变换化为行阶梯形矩阵

显然当a+4≠0

即a≠-4时 方程组无解

同理当a+4=0 即a=-4时

方程组有解

将a代入行阶梯形矩阵

继续进行初等行变换

将增广矩阵化为行最简形矩阵

写出对应的最简方程组

从而可求出方程组的一般解为

(12/7)+2c c -9/7 1

同学们

本例中a是否等于-4

是决定方程组有解或无解的前提条件

既然线性方程组是在增广矩阵上求解

那么线性方程组是否有解

能利用增广矩阵进行判定吗

事实上从行阶梯形矩阵可看出

方程组有解时

系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等

下面给出这一结论对应的定理

定理一

n元非齐次线性方程组Ax=b

有解的充分必要条件是

系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

当然如果不相等则无解

同时若非齐次线性方程组有解

那它的解又是否唯一呢

我们有如下两个推论

推论一 n元非齐次线性方程组

有唯一解的充分必要条件是

系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

等于未知量的个数n

推论2

n元非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是

系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩小于未知量的个数n

下面来看一个例子

请问λ为何值时

三元线性方程组无解 有唯一解

或无穷多个解

由定理1 我们写出方程组的增广矩阵

并进行初等行变换 化为行阶梯形矩阵

观察发现

当λ≠1且λ≠-2时

系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

等于未知量个数3

所以方程组有唯一解 并不难得到唯一解

当λ=-2时 代入行阶梯形矩阵

可得系数矩阵的秩为2 增广矩阵的秩为3

两者不相等 所以方程组无解

类似地 当λ=1时

代入行阶梯形矩阵

可得系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

小于未知量个数3

所以方程组有无穷多个解

另外观察方程组

可发现方程个数等于未知量个数

是否可以用系数行列式进行讨论呢

事实上 求出系数行列式的值

由克莱姆法则可知

当λ≠1且λ≠-2时

系数行列式不等于零

方程组有唯一解

然而因为克莱姆法则无法判定方程组无解

或无穷多解的情况

所以当λ=1或-2时

仍按第一种方法进行求解

类似地 请同学们完成下列

关于非齐次线性方程组解判定的练习

现在我们来学习齐次线性方程组解的判定

因为齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特例

并且系数矩阵与增广矩阵等秩

所以齐次线性方程组必有零解

因此我们介绍齐次线性方程组

是否仅有零解的判定方法

推论3

n元齐次线性方程组Ax=0

有唯一零解的充分必要条件是

系数矩阵的秩等于未知量个数n

当m=n时 等价于系数行列式值不等于0

推论4

n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是

系数矩阵的秩小于未知量个数n

当m=n时 等价于系数行列式值等于0

下面举例说明推论的应用

当a为何值时 三元齐次线性方程组

有非零解 并求出方程组的一般解

观察发现系数矩阵是方阵

因此计算方程组的系数行列式

结果为(a+2)×(a-3)

因此当a=-2或者a=3时

系数行列式为零

方程组有非零解

为了求方程组的一般解

将a=-2代入增广矩阵

并进行初等行变换化为行最简形矩阵

写出对应的最简方程组

可得一般解为 c₁ c₁ 0

同理当a=3时

可类似求出方程组的一般解

请同学们完成下列关于齐次线性方程组的练习

最后我们做一个小结

本讲学习了非齐次线性方程组无解

唯一解和无穷多解的判定方法

以及齐次线性方程组是否存在非零解的判定方法

好的 今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢