4.4 实对称矩阵的对角化在线视频

同学们好

今天我们来学习

特征值问题的第四讲

实对称阵的对角化

本讲内容包括

实对称阵的性质和对角化

首先

我们介绍实对称阵的性质

定理7

实对称矩阵的特征值都是实数

并且k重特征值一定有k个线性无关的特征向量

换句话说

实对称阵一定可以对角化

定理8

实对称阵属于不同特征值的特征向量相互正交

我们来证明这个定理

假设α₁ 与α₂ 分别为

实对称阵A的属于不同特征值λ₁ λ₂ 的特征向量

即Aα₁ =λ₁α₁

Aα₂ =λ₂α₂

因为A为实对称阵

即A的转置等于A

所以不妨对第一个特征值等式

先取转置

再定义内积

即Aα₁ 再与α₂ 的内积等于λ₂ 乘α₁ 与α₂ 的内积

另一方面

我们可以直接引入特征值的定义得到

A乘α₁ 再与α₂ 的内积等于λ₁ 乘α₁ 与α₂ 的内积

因此

我们得到λ₁ -λ₂ 再乘以α₁ 与α₂ 的内积等于零

又因为λ₁ -λ₂ ≠0

所以α₁ 与α₂ 的內积等于0

即正交的结论成立

由于对同一特征值的特征向量进行正交化和单位化后

不会改变向量之间的线性关系

并且仍然是其特征向量

因此

我们得到定理9

假设A为实对称阵

必存在正交矩阵Q

使得Q⁻¹AQ=Λ

其中对角线上的元素为A的特征值

同学们

如果将定理中Q的逆矩阵换成其转置

结论是否成立呢

请同学们完成下面关于实对称矩阵的练习

现在

我们来学习实对称矩阵的对角化

其基本步骤为

(1) 求出实对称矩阵A的全部特征值λᵢ

(2) 求出每一个特征值所对应的的特征向量

并将同一特征值的特征向量进行正交化

单位化

得到标准正交向量组η₁ η₂ ...ηₙ

(3) 将标准正交向量组依次排列构成正交矩阵Q

即得到Q⁻¹AQ=Λ

请注意

正交矩阵Q的列向量与对角阵中特征值的位置也要相互对应

下面

我们举例说明

例1

已知三阶实对称矩阵A

求正交矩阵Q

使得Q⁻¹AQ=Λ

先求出矩阵A的特征多项式(2-λ)(4-λ)²

解出A的特征值为λ₁ =2

λ₂ =λ₃ =4

其中4为二重特征值

当λ₁ =2时

解方程组可得其对应的特征向量为α₁

类似地

当λ₂ =λ₃ =4时

可得对应的特征向量为α₂ α₃

然后

将同一特征值的特征向量进行正交化

我们发现α₂ α₃ 恰好相互正交

所以α₁ α₂ α₃ 是正交向量组

再进行单位化得到η₁ η₂ η₃

即为标准正交向量组

令Q=(η₁,η₂,η₃)

则Q为正交矩阵

且满足Q的转置乘A再乘Q等于对角阵

请注意

正交矩阵Q中的列向量η₃ 与对角阵中特征值4的对应关系

例2

已知三阶实对称矩阵A

求可逆矩阵P

使得P⁻¹AP=Λ

并求A的100次幂

先求出A的特征多项式

并按第一列展开得 -(λ+2)(λ-2)²

解特征方程得特征值λ₁ =-2

λ₂ =λ₃ =2

当λ₁ =-2时

解方程组可得其对应的特征向量为α₁

同理

当λ₂ =λ₃ =2时

可得对应的特征向量为α₂ α₃

令P=(α₁,α₂,α₃)

可得P⁻¹AP=Λ

进一步整理得A=PΛP⁻¹

在此基础上

得到A的100次幂等于P乘对角阵的100次幂再乘P的逆

最后代入以对应特征值为元素的对角矩阵

此处对角矩阵的乘幂为数量矩阵

恰好简化了矩阵的乘积运算

那么

如果对角矩阵的乘幂不是数量矩阵呢

又如何计算A的100次幂呢

通常

我们可以通过特征向量的正交化

单位化

将可逆矩阵P变成正交矩阵Q

以简化Q的逆矩阵求解

再依次计算矩阵乘积

例3

设三阶实对称阵A各行元素之和均为3

向量α₁

α₂ 为齐次线性方程组Ax=0的解

求A的特征值与特征向量

因为α₁ 与α₂ 为齐次线性方程组Ax=0的解

即Aα₁ =0

Aα₂ =0

其中零向量又可分别写成 0α₁ 和 0α₂

所以0为矩阵A的二重特征值

α₁ α₂ 为其对应的特征向量

那么

如何刻画矩阵A的各行元素之和呢

用矩阵A乘以1 1 1

为元素的向量α₃

恰好可以将A的各行元素加起来

即Aα₃ =3α₃

因此

3也是矩阵A的特征值

α₃ 为其对应的特征向量

类似地

请同学们完成下面实对称矩阵对角化的练习

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了实对称矩阵的性质

和实对称矩阵的对角化方法

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢