3.6 齐次线性方程组的通解在线视频

同学们好

今天我们来学习线性方程组的第六讲

齐次线性方程组的通解

本讲内容包括

齐次线性方程组解的性质

和齐次线性方程组的通解

首先我们来介绍

齐次线性方程组解的性质

若η₁ η₂为齐次线性方程组Ax=0的解

则η₁+η₂也是它的解

由已知

Aη₁=0

Aη₂=0

所以

A(η₁+η₂)=Aη₁+Aη₂=0

故结论成立

性质2

若η为齐次线性方程组Ax=0的解

则kη也为它的解

显然

结合性质1和性质2可知

齐次线性方程组解的线性组合也是它的解

我们知道

齐次线性方程组一定存在零解

那么当零解不是唯一解时

它的非零解又具有什么样的特点呢

现在我们来学习

齐次线性方程组的通解

设η₁ η₂ ...ηₛ为齐次线性方程组Ax=0的解

若 (1) η₁ η₂ ...ηₛ线性无关

(2) Ax=0的任一解都可由η₁ η₂ ...ηₛ线性表示

则称η₁ η₂ ...ηₛ为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系

齐次线性方程组的通解则为

基础解系的线性组合

由该定义可知

(1) 齐次线性方程组的基础解系

其实就是其全体解向量组的一个极大无关组

(2) 齐次线性方程组的基础解系不唯一

关于基础解系

有如下重要结论

若齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩小于未知量个数n

则存在基础解系

并且基础解系中含有的向量个数为n-r

显然

我们只在齐次线性方程组有非零解的情况下

讨论其基础解系

下面介绍基础解系的求法

设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩r

小于未知量个数n

不妨设A的前r个列向量线性无关

那么求基础解系的步骤为

(1) 对系数矩阵A进行初等行变换

化为行最简形矩阵

(2) 写出对应的最简方程组

可见自由未知量为xᵣ₊₁ xᵣ₊₂ ...xₙ

一共n-r个

(3) 让自由未知量xᵣ₊₁ xᵣ₊₂ ...xₙ分别取n-r组值

取的这n-r组值是n-r维基本单位向量组的向量

代入上面的最简方程组

可解得

x₁ x₂ ...xᵣ的n-r组值

从而可得原方程组的解η₁ η₂ ...ηₙ₋ᵣ

这n-r个解即为齐次线性方程组的一个基础解系

下面证明η₁ η₂ ...ηₙ₋ᵣ 是基础解系

第一

我们证明这n-r个解是线性无关的

由于η₁ η₂ ...ηₙ₋ᵣ

是n-r维基本单位向量组增加相同个数分量得到的

而n-r维基本单位向量组线性无关

故η₁ η₂ ...ηₙ₋ᵣ线性无关

第二

我们证明齐次线性方程组的任一解都可以

由η₁ η₂...ηₙ₋ᵣ 线性表示

取Ax=0的任一解ξ

因为η₁ η₂ ...ηₙ₋ᵣ为Ax=0的解

所以

以ξ的后n-r个分量作为组合系数的

η₁ η₂...ηₙ₋ᵣ的线性组合η也是Ax=0的解

将η₁ η₂ ...ηₙ₋ᵣ的值代入η的表达式

计算可得

其中cᵢ是第i个分量表达式的简记符号

观察η和ξ的各个分量

不难发现二者的后n-r个分量对应相等

再代入同解线性方程组

可得二者的前r个分量也是相等的

所以η=ξ

即任一解都可由η₁ η₂ ...ηₙ₋ᵣ 线性表示

下面来看一个求基础解系和通解的例子

求齐次线性方程组的基础解系和通解

我们先写出方程组的系数矩阵

对其进行初等行变换

化为行最简形矩阵

然后根据行最简形矩阵写出对应的最简方程组

可见自由未知量为x₃ x₄

让自由未知量x₃ x₄分别取值1 0和0 1

代入最简方程组可得x₁ x₂的两组值

从而可得方程组的基础解系η₁ η₂

齐次线性方程组的通解则为k₁η₁+k₂η₂

类似地

请同学们完成下列求齐次线性方程组基础解系和通解的练习

同学们

已知齐次线性方程组

求基础解系和通解比较容易

如果齐次线性方程组未知呢

我们来看一个例子

设α₁ α₂是齐次线性方程组Ax=0的基础解系

则下列选项哪一个仍为解向量

已知Ax=0的基础解系α₁ α₂

若η为Ax=0的解

则线性方程组k₁α₁+k₂α₂=η有解

因此

写出α₁ α₂

和选项A B构成的增广矩阵

经过初等行变换

化为行阶梯形

显然

选项A对应的方程组有解

选项B对应的方程组无解

故选A

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了齐次线性方程组解的性质

齐次线性方程组的基础解系和通解的求法

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢