3.4 向量组的线性相关性在线视频

同学们好

今天我们来学习线性方程组的第四讲

向量组的线性相关性

本讲内容包括

线性相关性的概念和线性相关性的判定

首先我们来学习向量组的线性相关性

对于向量组(I)

若存在不全为零的数k₁ k₂ … kₛ

使得k₁α₁+k₂α₂+…+kₛαₛ=0

则称向量组(I)是线性相关的 否则线性无关

由该定义可知

(1) 若向量组α₁ α₂ … αₛ线性无关

则定义中的线性组合成立

等价于k₁ k₂… kₛ恒等于0

(2) 向量组线性无关

则它的部分组线性无关

反之部分组线性相关

则向量组也线性相关

下面我们举例说明

判断n维基本单位向量组的线性相关性

设存在n个数k₁ k₂ … kₙ

和ε₁ ε₂ …εₙ的线性组合等于零

把ε₁ ε₂ …εₙ代入可得如下齐次线性方程组

显然方程组的系数行列式不等于零

即方程组仅有零解

因此n维基本单位向量组线性无关

不难验证部分组ε₁ ε₂也线性无关

例2 讨论下列向量组的线性相关性

第一个 向量组中仅含有一个向量

由定义可知 系数k仅有零解

故向量组线性无关

同学们 如果这个向量是零向量呢

第二个

向量组中含有两个向量

由定义可知 只要k₁=-2k₂

其线性组合就等于零向量

即存在不全为零的系数 所以线性相关

事实上 如果两个三维向量线性相关

则对应的分量成比例

在几何意义上表示这个两个向量共线

那么三个三维向量线性相关呢

现在我们来学习线性相关性的判定

n维向量组α₁ α₂ …αₛ线性相关的充要条件是

向量组按列构成的矩阵A的秩

小于向量个数s

类似地 向量组线性无关的充要条件是

A的秩等于s

特别地 含有n个向量的n维向量组

线性相关的充要条件是

向量组构成的矩阵A的行列式值等于0

同理 线性无关的充要条件则是

矩阵A的行列式值不等于0

利用矩阵秩的定义

不难验证如下结论

设有n维向量组α₁ α₂ …αₛ

若向量的个数s大于向量的维数n

则该向量组必线性相关

推论8 若向量组α₁ α₂ …αₛ线性无关

则给每个向量相同位置增加相同个数分量后

得到的新向量组β₁ β₂ …βₛ也线性无关

类似地 线性相关的向量组

每个向量相同位置减少相同个数分量后

得到的新向量组仍线性相关

例如 判断下列向量组的线性相关性

第一个 我们将α₁ α₂ α₃作为列构成矩阵A

对A进行初等行变换化成行阶梯形矩阵

可知A的秩等于向量的个数3

所以向量组线性无关

同学们本例还有其它解法吗

第二个

该向量组恰好是3维单位向量组

每个向量增加1个分量得到

根据推论8 向量组线性无关

请同学们完成下列关于向量组线性相关性的练习

接下来再介绍几个关于线性相关的重要结论

定理5 向量组α₁ α₂ …αₛ线性相关的充要条件是

向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示

定理6 若向量组α₁ α₂ …αₛ线性无关

添上一个向量β后线性相关

则β可由α₁ α₂ …αₛ线性表示

且表示法唯一

本结论比较重要

我们将在附录中进行证明

定理7 若向量组β₁ β₂ … βₜ

可由向量组α₁ α₂ …αₛ线性表示

且t大于s

则向量组β₁ β₂ … βₜ线性相关

例4 已知α₁ α₂ α₃线性无关

且β₁ β₂ β₃可由α₁ α₂ α₃线性表示

证明β₁ β₂ β₃线性无关

设存在数k₁ k₂ k₃

使得k₁β₁+k₂β₂+k₃β₃=0

将β₁ β₂ β₃代入并整理得

(k₁+k₃)α₁+(k₁+k₂)α₂+(k₂+k₃)α₃=0

因为α₁ α₂ α₃线性无关

所以系数等于零

可得齐次线性方程组

经计算系数行列式等于2

所以方程组只有零解

因此β₁ β₂ β₃线性无关

类似地

请同学们完成下列关于向量组线性相关性的证明

最后我们做一个小结

本讲我们学习了

向量组线性相关性的概念

和线性相关性的判定方法

好的 今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢