2.5 矩阵的初等变换（二）在线视频

同学们好

今天我们来学习矩阵的第七讲

矩阵的初等变换(二)

本讲内容包括

初等矩阵和初等变换的应用

首先我们来介绍初等矩阵

如果交换单位矩阵的第一行和第三行

再对另一个矩阵进行左乘

结果相当于交换了右乘矩阵的第一行和第三行

这恰好与单位矩阵

变为左乘矩阵的初等变换相同

那么两者之间是否存在某种联系呢

定义15

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

称为初等矩阵

同学们初等变换可逆

初等矩阵是否也可逆呢

答案是肯定的

并且其逆矩阵仍为初等矩阵

下面

我们介绍初等变换对应的三类初等矩阵

第一 将单位矩阵交换i j两行

得到的初等矩阵记为E(i,j)

当然该初等矩阵

也可以由交换单位矩阵的i j两列得到

容易验证

用初等矩阵E(i,j)对矩阵A进行左乘

相当于交换了矩阵A的i j两行

第二 将单位矩阵的第i行乘以数k

得到的初等矩阵记为E[i(k)]

同理

该初等矩阵也可由单位矩阵的第i列乘以数k得到

不难验证

用初等矩阵E[i(k)]对矩阵A进行左乘

结果相当于将k乘到A的第i行

然而如果用初等矩阵E[i(k)]

对矩阵A进行右乘

结果却相当于将k乘到A的第i列

第三 将单位矩阵的第j行乘以数k

加到第i行得到的初等矩阵

记为E[i,j(k)]

请留意

该初等矩阵也可由单位矩阵的第i列

乘以数k加到第j列得到

类似地用初等矩阵 E[i,j(k)]对矩阵A进行左乘

结果相当于将A的第j行乘以数k加到第i行上

我们将以上初等矩阵的乘积结论归纳为

定理3

对矩阵A施以一次初等行变换

相当于对矩阵A左乘相应的初等矩阵

同时对矩阵A施以一次初等列变换

相当于对A右乘相应的初等矩阵

比如

计算三个矩阵的乘积

因为左乘矩阵为行交换初等矩阵E(1,2)

所以左乘相当于交换中间矩阵的第一行和第二行

同时

右乘矩阵为数乘初等矩阵E[2(2)]

故右乘相当于将矩阵的第二列元素乘以 2

即得到矩阵的乘积结果

定理4 矩阵A可逆的充分必要条件是

A可以表示为有限个初等矩阵的乘积

证明

因为初等矩阵可逆

故充分性显然成立

接下来 我们证明必要性

若矩阵A可逆则标准形为单位矩阵

即A等价于单位矩阵

故存在有限个对应初等变换的初等矩阵

P₁ P₂ … Pₛ

Q₁ Q₂ … Qₜ

使得P₁ P₂ … Pₛ乘 A 乘Q₁ Q₂ … Qₜ等于单位矩阵

在等式两端依次左乘P₁ P₂ … Pₛ的逆矩阵

然后再右乘Qₜ Qₜ₋₁一直到 Q₁的逆矩阵

即得到A等于有限个初等矩阵的乘积

由此可得

矩阵A与B等价的充要条件是

存在可逆矩阵P Q使得PAQ=B

同学们

你能求解下列初等矩阵的逆矩阵吗

现在

我们来学习初等变换的应用

(Ⅰ)当矩阵A可逆时其逆矩阵也可逆

并且逆矩阵可以表示为初等矩阵P₁ P₂ … Pₛ的乘积

如果用A的逆矩阵左乘分块矩阵A E

不难发现P₁ P₂ … Pₛ对应的初等行变换

将矩阵A变为E

同时也将构造的E变成了A的逆矩阵

我们举例加以说明

例5 求矩阵A的逆矩阵

先构造分块矩阵A E

再用初等行变换将第一行元素的-2倍 -3倍

分别加到第二行和第三行

可将第一列的元素2和3化为零

继续用第二行的-2

分别将第二列的其余元素化为零

可得到行阶梯形矩阵

然后再用第三行元素的-2倍 -5倍

分别加到第一行和第二行

并整理可得到虚线左边即为单位矩阵

此时虚线右边便得到A的逆矩阵

同学们

由矩阵可逆的定义

能否将求逆矩阵B的方法推广到矩阵方程呢

(II) 设矩阵方程AX=B

类似地 我们用A的逆矩阵左乘分块矩阵A B

对应的初等行变换将A变为单位矩阵

同时也将B变成了A的逆矩阵乘B

即得到方程组的解

例6

解矩阵方程AX=A+2X

其中矩阵A已知

整理方程可得(A-2E)X=A

不难验证A-2E的行列式不等于零即可逆

故方程的解为X=A-2E的逆矩阵乘以A

不妨构造分块矩阵A-2E∣A

并进行初等行变换

当虚线左边的系数矩阵变为单位矩阵的时候

右边得到的三阶矩阵即是方程的解

如果矩阵方程中的B退化为列向量

即Ax=b

上述解法仍然成立

比如

解非齐次线性方程组Ax=b

我们先构造分块矩阵A∣b

并进行初等行变换

类似可得方程组的唯一解为1 -2 6

同学们

本例关于线性方程组的解法与Cramer法则相比

哪一个更简单呢

请同学们完成下列关于初等矩阵和矩阵方程的练习

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了初等矩阵

初等变换在求解逆矩阵和矩阵方程中的应用

好的今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢