当前课程知识点：误差理论与测量平差 >  第一章 测量误差及其传播律  >  §1.6 协因数及其传播律 >  协因数阵

返回《误差理论与测量平差》慕课在线视频课程列表

协因数阵在线视频

协因数阵

下一节:协因数传播律

返回《误差理论与测量平差》慕课在线视频列表

协因数阵课程教案、知识点、字幕

这一讲我们来学习协因数阵

我们看左边这个图

以方向观测法观测AB、AC、AD三个方向

观测值分别为L1、L2、L3

设方向观测值等精度观测

中误差都是σ=2"

那让我们来计算

（1）β1、β2的中误差

第二个问题就是 如果观测值L2的权是单位权观测值

那么求其余两个方向的权

在前两个条件下让我们来判断β1、β2是否相互独立

第四 就是求β1、β2得权

那这四个问题我们可以怎么样来解决呢？

其实按照我们前面几讲学习过的知识是完全可以做到的

比如说第一个 求β1、β2的中误差

这个其实我们可以发现β1、β2可以通过三个方向观测值计算出来

那么这样的话三个方向观测值的中误差我们清楚

那怎么计算其函数的中误差呢？

这就是协方差传播律

所以,我们首先要找函数关系

这个函数关系很简单 β1β2与L的关系

我们可以把它写成矩阵的形式

函数关系有了 我们应用协方差传播律

这个时候我们需要注意观测向量的方差阵是什么?

那么我们要看一下条件

它给了我们观测值是等精度独立观测

中误差有了 那按照方差协方差阵的特点

主对角线元素就应该是各观测值的方差

那么就应该都是4

非主对角线元素由于是独立

所以协方差都是0

有了方差阵而在函数的矩阵表达里面我们导到系数阵

这样就可以应用协方差传播律代入得出β

也就是函数向量的方差阵

那么在这个方差阵里面

对角线元素8就是二者的方差

开方就是它们的中误差

第一个问题就解决了

那么第二个问题

观测值L2是单位权观测值

让我们确定L1和L3的权

那我们通过前面学习权的知识大家应该知道

单位权观测值也就意味着L2的权是1

这样的话我们清楚

条件里面又给了它们是等精度观测

而权我们说它是衡量精度的相对指标

也就是说比较它们之间相对关系的

那么等精度也就是说它们精度相同

所以L1和L3的权应该和L2是一致的都是1

第二个问题就解决了

第三个问题 条件和二相同

那么β1、β2是否相互独立呢？

β1、β2这个函数向量的方差阵

我们刚才在第一个小题里面已经求出来了

所以它的协方差我们找到了是-4

不等于0 所以β1、β2是不相互独立的

下面第四个问题 让我们计算β1、β2的权

那权怎么计算呀？

我们刚刚学习过权

权的定义式我们知道

它是单位权方差比某一个量的方差

这样一比就是该量的权了

那在这里面我们说由第二个小题我们知道

P2的权等于1

那么根据单位权观测值的定义我们应该知道

它所对应的中误差就应该是单位权中误差

所以σ0我们就应该知道它应该是2"

这样按照我们权的定义式

β的方差我们刚才在第一小题已经算出来了

所以就得到了β1、β2的权应该是相等的

都等于二分之一

好 这个问题我们按照前面学过的知识已经解决过了

但是我们现在对它进行一个分析

刚才我们在求观测值函数也就是β的中误差的时候

我们是在观测值中误差的基础之上

通过协方差传播律来求的

同时我们在求β的权的时候是在已知观测值权的基础之上

通过权的定义式求的β的权

那这里面我们都是有一个前提也就是观测值的中误差已知

但是有些情况呢

观测值的中误差在测量工作中是不知道的

那怎么办 那后面这个观测值函数的中误差

我们就没有办法获得了

那这个问题如何来解决呢

其实在数据处理过程当中呢

也就是说在后面的平差数据处理过程当中呢

我们经常都是先求出谁呀 先求出单位权方差

然后我们通过权的定义式可以发现

观测值函数的中误差应该等于单位权中误差乘以它的权倒数

那么单位权中误差平差后可以计算得出

那么观测值函数的权怎么获得

在这儿我们应该清楚观测值的权

大家应该知道 我们在学习权的时候可以按照经验定权

那在这我们就想了 我们可不可以通过观测值的权

利用协方差传播律的思路来求观测值函数的权呢

那我们看一下 其实在计算方差的时候我们用的是权倒数

如果在权之间来用这个思路来求观测值函数我们发现

这个方差在分母上这是很难去传播的

但权倒数的话大家看 单位权方差作为常数在分母上面

而分子上呢 刚好是观测值的方差和观测值函数的方差

那么按照这个思路应该就可以

由观测值的权倒数来求观测值函数的权倒数了

这样的话我们就可以解决刚才计算观测值函数方差的问题了

不过在这我们中间的这个量 就是权倒数我们叫起来不太方便

我们给它起个名字就叫协因数

那这也是我们这一讲的关键内容协因数

下面我们看一下协因数 协因数如何定义呢

如果我们在这给定观测值Li和Lj

它的权Pi、Pj 方差σi2和σj2

互协方差σij 给出单位权方差σ02

那么Li的协因数我们把它记为Qii

它就应该等于它的方差比上单位权方差

那么同样我们很容易看到它其实就是权倒数

那同样Lj的协因数 我可以按照同样的思路去定义

也就是它的Lj的方差比上单位权方差

那么还有一个协方差

那协方差比上单位权方差我们把它记为Qij

那么给它起个名字叫什么呢 就叫Li与Lj的互协因数

这就是协因数的定义

那么我们也发现协因数是权倒数

互协因数它叫什么呢 就叫相关权倒数

那下面我们通过它的定义式其实就很容易发现

权与协因数的关系 是什么关系呀

就是倒数关系

那下面我们通过它的定义式同样可以找出谁呢

方差和协因数的关系

比如说Li的协因数给它公式变形得到

它的方差应该等于单位权方差乘以协因数

Lj也是一样的 那么互协因数也存在这样的一个关系

这就是方差与协因数应该是成正比的

那我们横向来看 我们可以看到这个协因数方差呢

都可以用来比较观测值精度

而下面的互协因数和相关权倒数或者说互协因数和协方差

都可以用来确定这个观测值之间的相关程度

好，前面呢我们说了协因数那是两个观测值之间的关系

那大家应该清楚测量工作当中啊这个观测值是一系列的 也就是要构成一个观测值向量

那么观测向量里面观测值之间 这个协因数如何来表达呢

那就是协因数阵 大家看有观测向量X 他的方差阵是Dxx 单位权方差σ0的平方

那么X的协因数阵如何定义呢

按照前面协因数定义的思路可以等于方差阵比上单位权方差

那么表达出来就是这个样子的 方差阵的形式每一个元素除以单位权方差

记录下来就是一个协因数阵里面的元素即为Qij

大家看协因数阵有什么特点呢

首先 它是一个方阵

没错他是一个方阵 而且他是一个对称方阵

我们看他的主对角线元素是什么 都是每一个观测值的协因数

非主对角线元素呢 那是各观测值之间的互协因数。

好 那我们再看昂 如果非主对角线元素都为0

其实意味着什么呢 也就是 σij等于0 或者说Qij等于零

那就意味着观测值各元素之间是相互独立的 由他们是不相关的 这个时候协因数就是一个对角阵。

好 这是协因数阵的四个特点

那下面我们看一下啊 如果再有一个观测向量Y

同样我们可以定义他的协因数阵

好 那现在我们找Y和X他们之间的关系

刚才我们说了 互协因数可以确定两个量之间的相关程度

那么 两个观测向量间的相关程度如何来确定呢？

那在这儿 我们就定义一个互协因数阵

你就是用他们的协方差阵 除以单位权方差得到互协因数阵

那么 互协因数阵记录下来就可以 记Qxy这样子

那在这个里面呀 我们同样如果x和y这这两个观测向量是独立的 不相关的

那么这个互协因数阵就应该是什么？没错 他就应该是零

同时Qxy和Qyx他应该是互为转置的

好 这就是关于协因数阵 那么我们把协因数阵 它的定义式变个形就能够找到谁和谁的关系呢？

对 就能找到方差阵和协因数阵之间的关系

以及互协因数阵和协因数之间的关系 我们要把这个记录一下 后面会用到

这是我们说的协因数阵 下面我们再看第四个问题就是权阵

为什么要提到权阵呢？其实刚才我们知道协因数和权是互为倒数的

那么 协因数阵和权阵之间有什么关系呢？我们在这要定义一个权阵

权阵如何来定义呢？

我们看观测向量X 协因数是Qxx单位权方差σ0的平方

我们定义权阵就是协因数阵的逆阵

我们把权阵定义为协因数的逆阵

记录为Pxx 那它里面的元素分别记为Pij

这样的话 我们看一下 由于权阵是协因数的的逆阵

二者的乘积就应该等于什么？应该等于单位阵

那先在我们分析一下权阵的特点

由于协因数阵是个对称方阵 那么它的逆阵权阵肯定也是一个对称方阵

那下面我们再看 如果观测值相互独立 每一个观测值方差即为 i的平方权为Pi

那么 权阵就应该是什么了?

是不是一个对角阵 相互独立 互协因数为零

协因数阵是一个对角阵 那么它的逆阵肯定也是一个对角阵

那么看对角线元素是协因数的倒数 那协因数按照定义式

它倒数是什么？就是权

通过这个分析 我们会发现当观测值相互独立的时候

这个权阵也是对角阵 那么权阵的主队角线元素 就是观测值的权

那现在要提个问题了 如果观测值不相互独立它们是这彼此相关的 那么第二条是否还成立呢？

思考一下 那我们不妨推导一下

我们把协因数阵和权阵相乘

理论上 它应该等于一个单位阵

那么，我们去其中的任意一行和任意一列相乘

他们的乘积值应该就是一

那在这个公式里面我们看 由于我们不确定它们是相互独立的

那么任意一个元素的pi

比如说 任意两个量对应的p和q相乘 它就不一定等于零

那也就意味着Pii乘以Qii他不一定等于一 所以这个时候呢？

权就不是等于协因数分之一了

那这个时候我们说 当它不独立的时候

权阵的主队角线元素 他就不是协因数的倒数

那么 刚才的第二条也就不成立

所以我们说当观测值相关的时候 权阵不是对角阵

权阵主对角线上的元素也并不是观测值的权

这个我们尤其要记住这一点啊

权阵他这个时候啊 他主对角线元素不是权那么求权 怎么求？

我们可以通过协因数的主对角线元素 求倒数来求

或者是按权的定义式来求

就是说，权是始终等于协因数的倒数的

好这是权阵的特点

那么.下面我们结合刚才的问题看一个例子

已知观测向量 X和Y的权阵告诉我们了

让我们来计算观测Xi和Yi的权

好 那我们看第一个问题

X的权阵告诉我们 通过这个权阵以及全部的特点 我们会发现他是个对角阵

那就意味着观测值之间是相互独立的

所以这个时候 他的主对角线元素 按照第二条他就是权

那么各个元素的权 我们直接写就可以了

好 分别是2 4 3 那么Y呢？Y的权是多少呀？

我看他的权阵 它不是对角阵 那就有意味着观测值之间是相关的

相关的主对角线元素就不再是权了 那怎么来求权？

我们先找他的协因数阵 根据权阵的逆阵来找协因数阵

而协因数阵的主对角线元素就是权倒数

这样我们就能够找到权了 这样我们能够计算啊 Y1和Y2的权

这是我们巩固了一下 我们刚才强调的重点问题哈。

好 以上就是我们这样四个问题

通过前面的讲解呢

大家应该清楚了协因数的概念

协因数 协因数阵以及它们和权阵之间的关系

那么下一讲呢 我们就来分析 怎么样由观测值的

权倒数 也就是协因数来求出观测值函数的协因数

应用的还是和我们前面协方差传播律相似的思路

那我们看在引例中 我们提出的问题

那观测值的权倒数就可以写为Qii协因数

而观测值β的权倒数可以记录为Qβi

那这样的话 我们怎么样来通过Qii求Qβi也就是βi协因数呢？

那这个其实就是我们下一讲的内容:协因数传播律

误差理论与测量平差课程列表：

第一章 测量误差及其传播律

-§1.1 测量误差及其分类

--内容提要

--测量误差

--课程的目的、意义及学习方法

--讨论1-为什么学习这门课程？

--讨论2-学习这门课的意义

--教材~1.1 观测误差及其分类

--教案~1.1 测量误差及其分类

-作业--§1.1 测量误差及其分类

-§1.2 偶然误差的概率特性

--内容提要

--偶然误差的概率特性

--讨论-偶然误差特性之间的关系

--教材~1.2 偶然误差规律性

--教案~1.2 偶然误差的概率特性

-作业--§1.2 偶然误差的概率特性

-§1.3 精度及其衡量指标

--内容提要

--衡量精度的指标

--精度、准确度、精确度

--讨论--精度、准确度、精确度

--教材~1.3 衡量精度的指标

--教案~1.3 衡量精度的指标

-作业--§1.3 精度及其衡量指标

-§1.4 协方差传播律

--内容提要

--协方差与相关

--协方差传播律的概念

--线性函数的协方差传播（一）

--线性函数的协方差传播（二）

--非线性函数的协方差传播

--协方差传播律的应用

--讨论1-协方差传播律的不同表达

--教材~1.4 协方差传播律及其应用

--教案~1.4 协方差传播律

-作业--§1.4 协方差传播律

-实验1 Excel中的矩阵运算

--实验1-excel中的矩阵运算

--教案~实验一

-§1.5 权与常用的定权方法

--内容提要

--权与单位权

--测量中常用的定权方法

--讨论1-权的意义

--讨论2-常用定权方法的特点

--教材~1.5 权与常用的定权方法

--教案~1.5 权与常用的定权方法

-作业--§1.5 权与常用的定权方法

-§1.6 协因数及其传播律

--内容提要

--协因数阵

--协因数传播律

--讨论1-协因数传播律的表述

--讨论2-协方差传播律与协因数传播律的关系

--讨论3-中误差、协因数与权三者之间的作用和关系

--教材~1.6 协因数与协因数传播律

--教案~1.6 协因数传播律

-作业--§1.6 协因数及其传播律

-实验2 MATLAB的矩阵运算

--实验二 MATLAB的矩阵运算

--教案~实验二

-§1.7 由真误差计算中误差及应用

--内容提要

--由真误差计算中误差

--由真误差计算中误差的实际应用

--讨论1-不等精度的观测值化为等精度

--讨论2-双观测值的特点及作用

--教材~1.7 由真误差计算中误差及应用

--教案~1.7 由真误差计算中误差及其应用

-作业--§1.7 由真误差计算中误差及应用

-§1.8 系统误差的传播

--内容提要

--系统误差的传播

--讨论-系统误差的传播

--教材~1.8 系统误差的传播

--教案~1.8 系统误差的传播

-作业--§1.8 系统误差的传播

第二章 平差的数学模型与最小二乘原理

-§2.1 测量平差概述

--内容提要

--测量平差概述

--讨论1-测量几何模型确定

--讨论2-多余观测作用

--教材~2.1 测量平差概述

--教案~1.1 测量平差概述

-作业--§2.1 测量平差概述

-§2.2 测量平差的数学模型

--内容提要

--条件平差函数模型

--附有参数的条件平差函数模型

--间接平差函数模型

--附有限制条件的间接平差函数模型

--测量平差的函数模型对比分析与随机模型

--讨论-5种函数模型之特点

--教材~2.2 测量平差的数学模型

--教案~2.2 测量平差的数学模型

-作业--§2.2 测量平差的数学模型

-§2.3 函数模型的线性化

--内容提要

--测量平差函数模型的线性化

--讨论-泰勒公式的应用

--教材~2.3 函数模型的线性化

--教案~2.2 测量平差函数模型线性化

-作业--§2.3 函数模型的线性化

-§2.4 最小二乘原理及其应用

--内容提要

--最小二乘原理

--最小二乘原理在测量平差中的应用

--讨论-最小二乘的含义

--教材~2.4 最小二乘原理及其应用

--教案~2.4 最小二乘原理及其在测量平差中的应用

-作业--§2.4 最小二乘原理及其应用

第三章 条件平差

-§3.1 条件平差原理

--内容提要

--平差值求取原理

--条件平差的计算步骤

--水准网算例

--讨论1-条件平差的产生

--讨论2-基础方程的建立

--教材~3.1 条件平差原理+精度评定

--教案~3.1 条件平差原理

-作业--§3.1 条件平差原理

-§3.2 条件方程

--内容提要

--不同类型控制网条件方程数的确定

--水准网条件方程

--自由测角网条件方程

--附合测角网条件方程

--测边网条件方程

--讨论1-条件方程的种类

--讨论2-条件方程的不唯一性

--教材~3.2 条件方程

--教案~3.2 条件方程

-作业-§3.2 条件方程

-§3.3 导线网条件平差计算

--内容提要

--导线条件平差方程数的确定

--附合导线方位角条件方程

--附合导线坐标条件方程

--单一闭合导线条件方程

--导线条件平差的定权方法

--导线条件平差实例

--讨论-导线的条件方程特点

--教材~3.3 导线网条件平差

--教案~3.3 导线网条件平差

-作业--§3.3 导线网条件平差计算

-§3.4 精度评定

--内容提要

--条件平差单位权中误差的计算

--条件平差模型中的协因数阵

--条件平差方法中平差值函数的协因数阵

--讨论1-精度评定的范畴

--讨论2-精度评定与协方差/协因数传播律的关系

--教材~3.4 条件平差的精度评定

--教案~3.4 精度评定

-作业--§3.4 精度评定

-§3.5 附有参数的条件平差

--内容提要

--附有参数的条件平差原理

--附有参数的条件平差的精度评定

--附有参数的条件平差计算实例(1)

--讨论-附有参数的条件平差与条件平差的区别与联系

--教材~3.5 附有参数的条件平差

--教案~3.5 附有参数的条件平差

-作业--§3.5 附有参数的条件平差

-§3.6 条件平差估值的统计性质

--内容提要

--条件平差估值的统计性质

--讨论-平差成果具有的统计性质

--教材~3.6条件平差估值的统计性质

--教案~3.6 条件平差估值的统计性质

-作业--§3.6 条件平差估值的统计性质

第四章 间接平差

-§4.1 间接平差原理

--内容提要

--间接平差--求平差值一般原理

--间接平差计算步骤

--讨论1-间接平差与附有参数的条件平差的区别

--讨论2-间接平差的特征

--教案~4.1 间接平差原理

-作业--§4.1 间接平差原理

-§4.2 误差方程

--内容提要

--参数选取

--测角网观测方程的组成

--测角网误差方程

--测边网观测方程组成

--测边网误差方程

--边角网间接平差算例

--讨论-间接平差与条件平差的比较

--教材~4.2 误差方程

--教案~4.2 误差方程

-作业--§4.2 误差方程

-§4.3 精度评定

--内容提要

--单位权中误差及协因数的计算

--参数函数的精度评定

--讨论-间接平差法精度评定的方便性

--教材~4.3 精度评定

--教案~4.3 精度评定

-作业--§4.3 精度评定

-§4.4 附有限制条件的间接平差

--内容提要

--附有限制条件的间接平差原理

--附有限制条件的间接平差的精度评定

--附有限制条件的间接平差实例

--附有限制条件的间接平差公式汇编

--讨论-附有限制条件的间接平差

--教材~4.4 附有限制条件的间接平差

--教案~4.4 附有限制条件的间接平差

-作业--§4.4 附有限制条件的间接平差

-§4.5 间接平差估值的统计性质

--内容提要

--间接平差估值的统计性质（一）

--间接平差估值的统计性质（二）

--间接平差估值的统计性质（三）

--讨论-四种平差方法的统一性

--教材~4.5 间接平差估值的统计性质

--教案~4.5 间接平差的统计性质

-作业--§4.5 间接平差估值的统计性质

-实验3 科傻平差软件简介

--实验三—科傻平差软件简介

--教案~实验3

第五章 误差椭圆

-§5.1 概述

--内容提要

--点位真误差

--点位方差

--讨论1-点位中误差的特质

--讨论2-点位中误差的局限性

--教材~5.1 概述

--教案~5.1概述

-作业--§5.1 概述

-§5.2 点位误差

--内容提要

--点位中误差的计算

--任意方向φ上的位差

--位差的极大值和极小值

--以极大值E和极小值F表达任意方向上的位差

--讨论1-任意方向上的位差（中误差）

--讨论2-点位位差极大值与极小值的计算

--教材~5.2 点位误差

--教案~5.2 点位误差

-作业--§5.2 点位误差

-§5.3 误差曲线

--内容提要

--误差曲线

--讨论-误差曲线的特征

--教材~5.3 误差曲线

--教案~5.3 误差曲线

-作业--§5.3 误差曲线

-§5.4 误差椭圆

--内容提要

--误差椭圆

--误差椭圆实例

--讨论-误差椭圆与误差曲线

--教材~5.4 误差椭圆

--教案~5.4 误差椭圆

-作业--§5.4 误差椭圆

-§5.5 相对误差椭圆

--内容提要

--相对误差椭圆

--讨论-误差椭圆与相对误差椭圆

--教材~5.5 相对误差椭圆

--教案~5.5 相对误差椭圆

第六章 误差分布与平差参数的统计假设检验

-§6.1 概述

--内容提要

--误差分布与平差参数的假设检验概述

--讨论-两类错误

--教材~6.1 概述

--教案~6.1 概述

-作业--§6.1 概述

-§6.2 常用的参数假设检验方法

--内容提要

--u检验方法

--t检验法

--χ2检验法

--F检验法

--讨论-常用假设检验的适用性

--教材~6.2 常用的参数假设检验方法

--教案~6.2 常用的参数假设检验方法

-作业--§6.2 常用的参数假设检验方法

-§6.3 误差分布的假设检验

--内容提要

--误差分布的假设检验（一）

--误差分布的假设检验（二）

--讨论-误差分布检验的用途

--教材~6.3 误差分布的假设检验

--教案~6.3 误差分布的假设检验

-作业--§6.3 误差分布的假设检验

-§6.4 平差参数的显著性检验

--内容提要

--平差参数显著性检验概述与检验方法

--平差参数显著性检验实例

--讨论-平差参数检验与常用参数检验

--教材~6.4 平差参数的显著性检验

--教案~6.4 平差参数的显著性检验

-作业--§6.4 平差参数的显著性检验

-§6.5 后验方差的检验

--内容提要

--后验方差检验的基本思想

--后验方差检验的实例

--讨论-后验方差检验的用途

--教材~6.5 后验方差的检验

--教案~6.5 后验方差的检验

-作业--§6.5 后验方差的检验

第七章 近代平差

-§7.1 序贯平差

--内容提要

--序贯平差原理

--序贯平差精度评定

--序贯平差实例

--讨论-序贯平差的增益矩阵

--教材~7.1 序贯平差

--教案~7.1 序贯平差

-作业--§7.1 序贯平差

-§7.2 秩亏自由网平差

--内容提要

--秩亏自由网概述

--秩亏自由网平差的直接解法

--秩亏自由网平差的附加条件解法

--秩亏自由网平差的精度评定

--秩亏自由网平差实例

--讨论1-秩亏自由网概念

--讨论2-秩亏自由网平差的准则

--教材~7.2 秩亏自由网平差

--教案~7.2 秩亏自由网平差

-作业--§7.2 秩亏自由网平差

-§7.3 附加系统参数的平差

--内容提要

--附加系统参数的平差

--附加系统参数的平差实例

--讨论-附加系统参数的平差的特征

--教材~7.3 附加系统参数的平差

--教案~7.3 附加系统参数的平差

-作业--§7.3 附加系统参数的平差

-§7.4 方差分量估计

--内容提要

--赫尔默特方差分量估计原理

--赫尔默特方差分量估计应用

--讨论-方差分量估计的意义

--教材~7.4 方差分量估计

--教案~7.4 方差分量估计

-作业--§7.4 方差分量估计

协因数阵笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:


  1. 工业清洁生产原理与方法(2021秋)

  2. Molecular Medicine Techniques(Round 1)

  3. 运动生理学(2021秋)

  4. 游戏概论(2021秋)

  5. 涉农创业实务(2021秋)

  6. 学术论文写作与表达(2021秋)

  7. Advancing Molecular Imaging(Round 2)

  8. 旅游交际礼仪(2021秋)

  9. 企业破产法(2021秋)

  10. Compilers Techniques(Round 2)

  11. 误差理论与测量平差(2021秋)

  12. 土木工程材料(2021秋)

  13. 万物互联(2021秋)

  14. 信息化教学资源设计与制作——基于PPT数字教学资源开发(2021秋)

  15. 音乐鉴赏(2021秋)

  16. 数值分析(2021秋)

  17. 山水景观赏析(2021秋)

  18. 运动损伤学(2021秋)

  19. 海外铁路工程实用口语(2021秋)

  20. 风景园林艺术原理(2021秋)
© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。