当前课程知识点:误差理论与测量平差 > 第四章 间接平差 > §4.5 间接平差估值的统计性质 > 间接平差估值的统计性质(二)
今天咱要讲的内容就是咱上一次
说过
参数估计量是最优无偏估计量要
从两个方面说
第一无偏咱上一次讲过了
第二参数估计量的方差最小
今天咱讲的是这个内容
好
第一个稍微命题
那就是说咱们参数估计量x^
它的方差DXX最小
那么这个命题怎么解释
就是说对于确定的因素
观测向量未知参数的估值
随着采用不同的估计方法
就可以得到多组估值和估值的方
差阵
例如第一种就说同样的一组观测
向量
L1L2LN那么我用最小二乘
估计得出来的
我把它叫做X1
然后方差阵是DX1X1
那么极大似然估值我得到的参数
叫做X2
然后它的方差阵叫DX2X2
好比说还有贝叶斯估计等等
或者说第N种估计
那么就得到了N个参数的估计量
和N个方差阵的估计量
那么在这里边有没有一个方差阵
是最小的呢
现在我们就是要证明在这些所有
的估计方法中
那么用最小二乘估计出来的方差
阵它是最小的
这就是咱们这个命题
我给大家解释的啊
好
第三个
那方差阵最小怎么来衡量
我这用的一个是方差阵最小的
衡量标准
因为在平差中参数有t个
因此咱们得到的参数的方差阵是
一个t乘t阶的一个对称方阵
我写到这个地方来
好
那么方差阵最小衡量标准是怎么
衡量的
是这样衡量的
就说数学上我使用矩阵的迹来
衡量
那么矩阵的迹是一个什么概念
是这样定义的
如果有一个方阵
A那么它的对角线元素之和我就
称为矩阵A的迹迹为trA好像
咱们前面方差阵提成t阶的方阵
那么它的D也就是方差阵的迹就
等于对角线元素的之和
那也就是说咱们t个参数的方差
之和
这就是方差阵的迹
那么要证明方差阵最小
也就是证明它的迹最小
就是说它所有的参数的方差之和
最小
好
下面第四个咱就是这个命题的
证明过程
在这个证明过程中
第一步首先构建咱们平差里边的
也就是间接平差里边误差方程
里边的常数项
也是在法方程里面的常数项
小L构造一个这样的函数
为什么呢
因为咱们的参数的估值就是L的
函数
好
因为咱们X的改正数的估值就
等于法方程系数阵的逆阵乘上B
TPL就是咱的第一式
所以这个参数估值就是自由项L
的函数
那好
在这个基础上呢
我设另一种估计方法
得到的参数估值是X点上面一个
点奥
原来咱平差估值这是个点
X点等于X0参数的近似值
加上一个小的
也就是说参数改正数那个点
因此这个参数改正数点等于贝塔
L也是什么呢
小L的函数
不过它前面的系数阵是一个贝塔
咱们的证明的思路是假设
X点它是最有无偏估计量
然后我去寻找贝塔
如果得出来贝塔带入到这个X点
等于贝塔L这个表达式里面
他和咱们最小二乘求出来的那个X
如果它的表达是相等
那我就认为咱们最小二乘得出来的
就是这个最优无偏估计量
他这个思想
就是这实际上是一个反证的一个
思路
好
那么现在我就开始了
那要证明X点等于贝塔L它的方
差是最小的
它是最有无偏估计量
首先说明X点它是一个无偏估计
量
那么无偏估计量贝塔它要满足
一个什么样的条件
下面第二个就是要说明这个问题
好
我对X点求数学期望
那就等于贝塔乘上一小L好
前面我已经证明过
咱们的小L它的数学期望就等于
误差方程的系数
阵B乘上参数改正数的真值
小X波浪将常数项小L的数学
期望EL等于B乘上参数改正数
的真值
代入上式
就得到了XDN的数学期望
等于参数X的真值
然后再另X点的数学期望等于
贝塔乘上B再乘上参数的改正数
的真值
那也就是说X点他如果要是无偏
估计量
它的条件是贝塔乘上B等于单位
阵
或者我写成条件方程的形式
那就是贝塔B减一等于0
这就是咱们的第三式
好
第三个有了X点的表达式根据
协方差传播定律我就能得出来
X点的方差阵的表达式第四
那也就是说单位权方差乘以贝塔
再乘以权逆阵再乘上贝塔T这
就是X点的方
差阵的表达式
好
现在第四部我就要求谁能使方差
针最小的一个贝塔
那么我把贝塔找出来
看看它是一个什么结果
好
这个时候大家看明显
因为要求在满足第三个式子的
条件下
要使方差最小
那就应该是用咱们数学上条件
极值的解法
因此要构造一个极值函数
这个函数咱在前面用过多次
也就是拉格朗日乘常数法
好
那么第五个就是在构造出来的
条件极值函数
好
那这个时候
然后我对第五个式子求偏导
并令其等于0
就是第六个表达式
然后应用矩阵迹的两个性质
那么第七个性质就得到了第6式
的两项的表达是第八个式子
然后从把第八式代入到第六式
就得到了第九这个表达式
那么大家看第九这个表达式就是
单位权方差乘以贝塔乘上权逆阵
再加上KT乘上BT等于0
那么由第九式就能得到贝塔的
解第10这个表达式
然后把十这个式子带入到第三
表达式
从而得到K的一个解第11个
式子
得到贝塔这个表达式
然后将十和11这两个表达式代
入到第九
然后就得到12这个式子12
这个式子
大家看就是贝塔的一个表达式
贝塔就等于Nbb的逆阵
也就是咱们法方程系数阵的逆阵
乘上一个BT再乘上一个p逆
好
这个时候咱再把它代入
这个时候就得到第13式
也就是X点等于法方程系数
阵的逆阵乘上BTP的逆阵乘上
小L这一个大家回忆一下
咱们在间接平差里面
也就是说根据最小二乘进行间接
平差得出来的参数的解
也是法方程系数阵的逆阵
乘上BT再乘上权逆阵再乘上小
L那么十三十四这两个式子
一模一样
或者说完全相等
因为X点这个咱们是假设它是什么方
差阵最小
而且无偏的情况下得出来的
因此他的结论和他间接平差的
结论一致
那么这样就从另一个从反证法的
角度来说
那就间接的证明了咱们间接评差
得到的参数
那么它是最优无偏估计量
也就是说它即是无偏
而且它的方差阵最小
那么通过这个证明
大家也学习到咱们证明的方法
原来在中学的时候就采用过一种
是正着
一步一步的按照顺序证明
一种是用反证的方法来证明咱们
这一个就是用反证的方法间接的
证明了咱们间接平差
也就说最小二乘估计估计出来的
方差
它的方差阵是比其他方法得出来
的
方差阵是最小的
所以咱们得在只含有偶然误差的
情况下
我们用间接评差估计出来的参数
它是最有无偏估计量
这是一个非常好的估计量
通过这一次的学习
希望大家对于理论的推导和最
小二乘它的优点有一个更加深刻
的认识
好
这一次课咱就讲到这个地方
谢谢
-§1.1 测量误差及其分类
--内容提要
--测量误差
-作业--§1.1 测量误差及其分类
-§1.2 偶然误差的概率特性
--内容提要
-作业--§1.2 偶然误差的概率特性
-§1.3 精度及其衡量指标
--内容提要
--衡量精度的指标
-作业--§1.3 精度及其衡量指标
-§1.4 协方差传播律
--内容提要
--协方差与相关
-作业--§1.4 协方差传播律
-实验1 Excel中的矩阵运算
--教案~实验一
-§1.5 权与常用的定权方法
--内容提要
--权与单位权
--讨论1-权的意义
-作业--§1.5 权与常用的定权方法
-§1.6 协因数及其传播律
--内容提要
--协因数阵
--协因数传播律
-作业--§1.6 协因数及其传播律
-实验2 MATLAB的矩阵运算
--教案~实验二
-§1.7 由真误差计算中误差及应用
--内容提要
-作业--§1.7 由真误差计算中误差及应用
-§1.8 系统误差的传播
--内容提要
--系统误差的传播
-作业--§1.8 系统误差的传播
-§2.1 测量平差概述
--内容提要
--测量平差概述
-作业--§2.1 测量平差概述
-§2.2 测量平差的数学模型
--内容提要
--条件平差函数模型
--间接平差函数模型
-作业--§2.2 测量平差的数学模型
-§2.3 函数模型的线性化
--内容提要
-作业--§2.3 函数模型的线性化
-§2.4 最小二乘原理及其应用
--内容提要
--最小二乘原理
-作业--§2.4 最小二乘原理及其应用
-§3.1 条件平差原理
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--平差值求取原理
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-作业--§3.1 条件平差原理
-§3.2 条件方程
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--水准网条件方程
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-§3.3 导线网条件平差计算
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--导线条件平差实例
-作业--§3.3 导线网条件平差计算
-§3.4 精度评定
--内容提要
-作业--§3.4 精度评定
-§3.5 附有参数的条件平差
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-§3.6 条件平差估值的统计性质
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-§4.1 间接平差原理
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--测边网误差方程
-作业--§4.2 误差方程
-§4.3 精度评定
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-§4.4 附有限制条件的间接平差
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-§4.5 间接平差估值的统计性质
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--教案~实验3
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-作业--§6.5 后验方差的检验
-§7.1 序贯平差
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--序贯平差原理
--序贯平差精度评定
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-作业--§7.1 序贯平差
-§7.2 秩亏自由网平差
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-作业--§7.2 秩亏自由网平差
-§7.3 附加系统参数的平差
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-§7.4 方差分量估计
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