当前课程知识点:误差理论与测量平差 > 第四章 间接平差 > §4.5 间接平差估值的统计性质 > 间接平差估值的统计性质(一)
好
今天咱要讲的是间接平差估值的
统计性质
我们知道间接平差最后得出来的
是参数的估值
那么参数估值它有一个优良的
性质
也就是说是最优无偏估计量
那么最优无偏估计量要满足什么条件?
首先要证明它是无偏的
然后再说明它的方差是最小的就
可以
今天这一讲讲两个问题
第一个问题是参数估计量是无偏
估计量
第二个问题是改正数的数学期望等于0
即 E(V)=0
第一个问题就是说参数估计量的
无偏性
那么这个命题就是要证明我们
参数估计量X的平差值
也就是咱们用通俗的语言说
就是X(尖)等于X的真值
那就是X(波浪线)
那么证明的思路是因为真值也
就是X(波浪线)等于X0加上参数的
改正数的真值x(波浪线)
那么X的平差值也就是X加等于
X0加上参数
改正数的估值
X
那么因此这个命题它等价于
就是说参数改正数的估值
的数学期望等于
参数改正数的x(波浪),也就是真值
只要证明这个就可以了
好
第三个证明的基础就说咱们第
一个就是说间接平差的函数模型
也就是观测值的真值
L(波浪)等于B乘上参数的真值
也就是X(波浪)加上一个常数项d
这是第一个式子
第二个就是咱们参数的估值X间
的一个表达式
第三个是l的表达是
第四个就是参数
参数的近似值等于
参数的真值
减掉参数
改正数的真值
后边要证明要需要用到的几个
式子
下边来看证明的过程
首先
对咱们的参数估值
X加就是参数
改正数的估值以后
我就直接说成参数估值了
那么这个式子得出来以后把它带
进去就得到了第(5)式
好
然后把我前面(3)、(4)两式
代入到第(5)式就得到了
咱们的第(6)式
那么第(6)式里边大家看有一个
观测值L的数学期望这个关键
一个量
因为说前面已经
证明过
对于只含有有偶然误差的观测值
来说
观测值的数学期望就等于
观测值的真值
所以带到第(6)式里面就得到了第
(7)式
好
由第(1)式知道
也就是说L等于BX+d,实际
上一项以后就变成了L减掉括号B
X+D等于0
这样的话刚才的那个式子就变成
了这个函数改正数的数学期望
就等于法方程系数阵的逆阵乘上
法方程系数阵乘上X参数改成数
的真值
好
因为法方程系数阵的逆阵乘上法
方程系数阵等于单位阵
所以就得到了参数改正数的
数学期望
就等于参数改成数的真值
因此这个命题得证
说明咱们参数估值是无偏
估计量
这是第一个命题
第二个要证明的是改正数的数学
期望等于0
好
命题就是改正数的数学期望等于
0
那么证明的基础还是(5)式
比刚才增加了一个参数的估值
也就是第三个式子
其他的1245就是咱前面说的
四个
好
证明的过程也很简单
思路很简单
那就是把V这个表达式代进来
求数学期望
那么得到了第(6)式
好
将第(3)和第(5)代到第(6)式就得
到了咱的第(7)式
好
因为咱刚才说了
就说这里边还有一个观测值的
数学期望
E(L)等于观测值的真值
也就是L波浪
所以带到这里边来
l也就是说间接平差的自由项
然后求数学期望
由第(2)式知道
也就是说L的真值减掉BX的真
值加上d括号等于0
所以带到里面以后l的数学
期望就等于B乘上参数改成数的
真值
所以带到里面以后
也就是改正数的数学期望就等于
B乘上参数改正数的真值
减掉B乘上参数改正数的真值
所以等于0
因此就证明了改正数的数学期望
等于0这样的一个命题
所以这一节内容咱们就讲到这里
下一次就要讲咱们参数
它的估值方差最小这个命题
好
就到这里,再见!
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-§3.6 条件平差估值的统计性质
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