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由真误差计算中误差的实际应用

下一节:讨论1-不等精度的观测值化为等精度

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由真误差计算中误差的实际应用课程教案、知识点、字幕

这一讲我们来学习由真误差计算中误差的实际应用

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上一节呢,我们主要推导了它的计算方法以及几种公式

那这一节我们来看两个方面的实际应用

第一，由三角形闭合差求测角中误差，这个是经常应用的

我们看一下，在这样一个控制网里面，有多个三角形

那么等精度独立观测了n个三角形的内角

哎这样的三角形有多个，我们观测了n个，那么三角形内角和存在一个闭合差

怎么算呢，对，闭角和是180°,减去各内角观测值的和，得到的是wi

那现在我们看一下这个就是真值和观测值之差，这就是真误差

那由这个三角形闭合差也就这个真误差怎么样来算测角中误差呢

我们上一节课由真误差计算中误差的公式啊，我们分析了有这样一个等精度的真误差计算中误差的公式

那我们看一下，这个角度是等精度观测的，那么，各个三角形内角和的闭合差肯定也是等精度的

那由此我就可以得到w也就内角和的方差，按照公式代入即可

不过可能你会想,我们要算的是测角中误差,而这个是内角和中误差,不一样啊,接下来怎么求测角中误差呢

那其实我们往回想，在前几讲学协方差传播律的时候

我们那个时候是用观测值的中误差来求观测值函数的中误差

而在这里，我们知道了观测值函数w的中误差，反过来要求测角中误差

那其实我们可以反推

应用协方差传播律，由于它是等精度独立的嘛，我们可以选择纯量形式的公式

再把相应的系数以及中误差的表达式带进去就得到了这样一个结果

那也就是说，三角形闭合差的方差等于各测角中误差的方差之和

它们是等精度的，系数均为1，那等于3σ^2

好，那这样的话我们就可以反推出测角中误差的计算公式了

它的方差是内角和闭合差的三分之一

那么再开方就是测角中误差，这是第一个简单的应用啊

我们先由真误差算出内角和的方差以及中误差，再由此算出测角中误差

那我们下面看一下测角中误差的这个公式，其实就是著名的菲列罗公式

这个公式其实我们在以前的测量计算中用过，只不过我们不知道它是怎么来的

好，那下面我们看一下第二个实际应用

由双观测之差计算中误差,在这个问题分析之前呢

我们首先看两个关键词第一什么叫双观测值

比如说我们对一段距离进行观测，经常会往测返测取平均值作为测量的结果

比如说我们测导线的边长就会这样做

那么这个往返测就是一个双观测值

同样我们在水准测量的时候一个测段我们也经常要做一个往返观测

那么这一个测段的往返观测也是一对双观测值

所以，我们现在给双观测值做一个通用的表达形式

就是如果设对量S1到Sn分别观测两次，得到独立观测值和权

可以记为如下三组形式，那么在这里面观测值L1’和L1’’就是对同一个量S1的两个观测值

那么这就是一个观测对或者叫双观测值

那么一个量对应的一个观测对，它的权是一致的，好这是双观测值，那下面我们再看一下

我们这个问题是由双观测值之差计算中误差，那什么是双观测值之差呀

那我们知道，对同一个量进行两次观测，由于有观测误差存在他们不可能完全相等

所以他们的差值就是双观测值之差我们可以表达为，比如说两次观测值之差我们记位di

则di可以表达为 Li’- Li’’，那么双观测值之差是不是真误差呢？

我们这一讲讲的是由真误差计算中误差的应用那我们看一下它和真误差的关系

我记双观测值之差的真误差为Δdi 那它应该等于di的真值减去di

而di我们说它是两次观测之差,那它的真值就应该是两次观测值的真值之差

那两次观测值的真值应该都是X ~，所以那么在这块第一项Li'~- Li''~

其实就是对应它们同样的观测值，那么之差就应该是0

而后面就剩下了两个观测值之差所以它等于,000 --> di

这样我们会发现，双观测值之差和双观测值之差的真误差是具有同样的性质

那么我们就可以用双观测值之差代替真误差来计算中误差了，下面我们就看一个这个计算过程

首先，左侧我们是观测量、一次观测、两次观测和观测值的权，它们的权是不相等的

那在这双观测值之差记为di，这就是刚才我们所说的它具有真误差的性质

那现在呢，我们回忆上一讲，由真误差计算中误差，我们先要把单位权中误差计算出来

因为它们是不等精度的，那在这里面这个权是什么也就是说双观测之差

也就是说这个Δ对应的Pi在我们这个问题里面对应的就是di的权

那首先我们看一下di等于什么呢？它是Li’,000 --> Li’’

那二者是独立的，我们是不是可以用权倒数传播律做呢？因为观测值的权我们知道

所以应用权倒数传播律，我们直接往里一代，就可以得到双观测值之差的权

等于单次观测值权的1/2 那么各个双观测值之差的权我们就找到了

有了权，我们直接带入到单位权中误差公式中就可以得到单位权方差

代入结果出来了，好，有了单位权方差那现在我们看观测值的方差怎么求呢？

我们可以根据权的定义式，因为观测值的权我们知道，那么带入进去就可以了

那下面我们看一下双观测值最后的结果我们很一般要取什么呢？

一般我们要取算数平均值，因为它是等精度的，那算数平均值的精度结果又如何呢？

前面我们学习过，算数平均值得中误差应该等于观测值得中误差除以根号n

那在我们这里面n是双次观测等于2，所以等到了应该是前面的σLi’的平方除以2

就是它的方差，开方就是他的中误差，这就是双观测值他的中误差计算过程

下面我们看一个的实例这有一个实例就是分五段测定两水准点间的高差

每测段各测两次,双观测值有了，那高差观测值和距离在下面表1里面

一次观测、两次观测、还有距离。下面要让我们完成以下五个问题

首先，我们要把这个双观测值之差找到

按照前面的计算思路，di任一测段的双观测值之差就应该等于两次高差之差

然后呢，我们再找到它们的权，单次观测的权，就是观测值的权，hi的权

我们可以按路线长度来定取C=1km那么按照路线长度水准路线高差的权与路线长度成反比

所以各测段高差的权我们就可以定出来了Pi，好我们把这两列加入到表里面

接下里我们就依次来解决这五个问题

第一，每公里观测高差的中误差。由于我们刚才取得C=1KM，定权的

那其实我们现在就是要求谁，要求单位权中误差，那前面我们推导过单位权的公式？

对这个公式，我就可以把双观测值之差带进去，然后直接就算出这个σ0=3.8

当然，你事先要把Pdd的乘积依次计算求和

好，那我们看第二个问题，第二段单次观测高差的中误差

那也就是说这直接观测值其实前面我们也推导了公式直接往里带就OK了

这是第二段单次观测高差的中误差等于6.6，那我们现在看第三个问题

第二段高差的平均值的中误差，那也就是说双次求平均除以2

那这个我们刚才也推导了，我们直接带入两段高差平均

那么刚才第二个问题里面我们求了单次的，在它的基础之上除以√2就OK了

第四个问题，全长一次（往测或反测）观测高差的中误差

那我们以往测或反测一个为例，比如说往测h’，它等于所有往测各测段的和

那这就是一个线性函数，对于这个线性函数的话求h’的方差或中误差

我们可以依据什么呢？可以依据这个协方差传播律，而且它是独立的直接用纯量形式

那么每一段的中误差是什么呢？其实第二段的我们算过

每一段的我们可以按照同样的思路来做就行了

它每一段的方差都应该是单位权方差乘以它的权倒数

那也就是Si，代进去，然后整理得到这样一个结果

方差有了，中误差直接开方带入数据就得到了最后的结果。我们看第五个问题

全长高差的平均值的中误差，那也就是说我们刚才我们求了往测，那也可以求返测

那这两个往返测精度应该是一样的，最后这AB两点间的高差应该是往测返测取平均

这样的话最后这个均值的精度如何呢？同样按照前面的思路

用往测或者返测的除以√2，就可以代入数据得到结果

以上我们就结合两个实际应用具体又讨论了真误差计算中误差这个问题

前面我们主要讲了协因数传播律、协方差传播律

其实都是围绕着某一个量的中误差的计算来说的，而这些都是以只含有偶然误差为基础

那如果要有系统误差怎么办呢？所以我们后面要简单的讨论一下有系统误差的情况

那下一讲就是系统误差的传播，谢谢！

误差理论与测量平差课程列表：

第一章测量误差及其传播律

-§1.1 测量误差及其分类

--课程的目的、意义及学习方法

--讨论1-为什么学习这门课程？

--讨论2-学习这门课的意义

--教材~1.1 观测误差及其分类

--教案~1.1 测量误差及其分类

-作业--§1.1 测量误差及其分类

-§1.2 偶然误差的概率特性

--偶然误差的概率特性

--讨论-偶然误差特性之间的关系

--教材~1.2 偶然误差规律性

--教案~1.2 偶然误差的概率特性

-作业--§1.2 偶然误差的概率特性

-§1.3 精度及其衡量指标

--衡量精度的指标

--精度、准确度、精确度

--讨论--精度、准确度、精确度

--教材~1.3 衡量精度的指标

--教案~1.3 衡量精度的指标

-作业--§1.3 精度及其衡量指标

-§1.4 协方差传播律

--协方差与相关

--协方差传播律的概念

--线性函数的协方差传播（一）

--线性函数的协方差传播（二）

--非线性函数的协方差传播

--协方差传播律的应用

--讨论1-协方差传播律的不同表达

--教材~1.4 协方差传播律及其应用

--教案~1.4 协方差传播律

-作业--§1.4 协方差传播律

-实验1 Excel中的矩阵运算

--实验1-excel中的矩阵运算

--教案~实验一

-§1.5 权与常用的定权方法

--权与单位权

--测量中常用的定权方法

--讨论1-权的意义

--讨论2-常用定权方法的特点

--教材~1.5 权与常用的定权方法

--教案~1.5 权与常用的定权方法

-作业--§1.5 权与常用的定权方法

-§1.6 协因数及其传播律

--协因数传播律

--讨论1-协因数传播律的表述

--讨论2-协方差传播律与协因数传播律的关系

--讨论3-中误差、协因数与权三者之间的作用和关系

--教材~1.6 协因数与协因数传播律

--教案~1.6 协因数传播律

-作业--§1.6 协因数及其传播律

-实验2 MATLAB的矩阵运算

--实验二 MATLAB的矩阵运算

--教案~实验二

-§1.7 由真误差计算中误差及应用

--由真误差计算中误差

--由真误差计算中误差的实际应用

--讨论1-不等精度的观测值化为等精度

--讨论2-双观测值的特点及作用

--教材~1.7 由真误差计算中误差及应用

--教案~1.7 由真误差计算中误差及其应用

-作业--§1.7 由真误差计算中误差及应用

-§1.8 系统误差的传播

--系统误差的传播

--讨论-系统误差的传播

--教材~1.8 系统误差的传播

--教案~1.8 系统误差的传播

-作业--§1.8 系统误差的传播

第二章平差的数学模型与最小二乘原理

-§2.1 测量平差概述

--测量平差概述

--讨论1-测量几何模型确定

--讨论2-多余观测作用

--教材~2.1 测量平差概述

--教案~1.1 测量平差概述

-作业--§2.1 测量平差概述

-§2.2 测量平差的数学模型

--条件平差函数模型

--附有参数的条件平差函数模型

--间接平差函数模型

--附有限制条件的间接平差函数模型

--测量平差的函数模型对比分析与随机模型

--讨论-5种函数模型之特点

--教材~2.2 测量平差的数学模型

--教案~2.2 测量平差的数学模型

-作业--§2.2 测量平差的数学模型

-§2.3 函数模型的线性化

--测量平差函数模型的线性化

--讨论-泰勒公式的应用

--教材~2.3 函数模型的线性化

--教案~2.2 测量平差函数模型线性化

-作业--§2.3 函数模型的线性化

-§2.4 最小二乘原理及其应用

--最小二乘原理

--最小二乘原理在测量平差中的应用

--讨论-最小二乘的含义

--教材~2.4 最小二乘原理及其应用

--教案~2.4 最小二乘原理及其在测量平差中的应用

-作业--§2.4 最小二乘原理及其应用

第三章条件平差

-§3.1 条件平差原理

--平差值求取原理

--条件平差的计算步骤

--水准网算例

--讨论1-条件平差的产生

--讨论2-基础方程的建立

--教材~3.1 条件平差原理+精度评定

--教案~3.1 条件平差原理

-作业--§3.1 条件平差原理

-§3.2 条件方程

--不同类型控制网条件方程数的确定

--水准网条件方程

--自由测角网条件方程

--附合测角网条件方程

--测边网条件方程

--讨论1-条件方程的种类

--讨论2-条件方程的不唯一性

--教材~3.2 条件方程

--教案~3.2 条件方程

-作业-§3.2 条件方程

-§3.3 导线网条件平差计算

--导线条件平差方程数的确定

--附合导线方位角条件方程

--附合导线坐标条件方程

--单一闭合导线条件方程

--导线条件平差的定权方法

--导线条件平差实例

--讨论-导线的条件方程特点

--教材~3.3 导线网条件平差

--教案~3.3 导线网条件平差

-作业--§3.3 导线网条件平差计算

-§3.4 精度评定

--条件平差单位权中误差的计算

--条件平差模型中的协因数阵

--条件平差方法中平差值函数的协因数阵

--讨论1-精度评定的范畴

--讨论2-精度评定与协方差/协因数传播律的关系

--教材~3.4 条件平差的精度评定

--教案~3.4 精度评定

-作业--§3.4 精度评定

-§3.5 附有参数的条件平差

--附有参数的条件平差原理

--附有参数的条件平差的精度评定

--附有参数的条件平差计算实例(1)

--讨论-附有参数的条件平差与条件平差的区别与联系

--教材~3.5 附有参数的条件平差

--教案~3.5 附有参数的条件平差

-作业--§3.5 附有参数的条件平差

-§3.6 条件平差估值的统计性质

--条件平差估值的统计性质

--讨论-平差成果具有的统计性质

--教材~3.6条件平差估值的统计性质

--教案~3.6 条件平差估值的统计性质

-作业--§3.6 条件平差估值的统计性质

第四章间接平差

-§4.1 间接平差原理

--间接平差--求平差值一般原理

--间接平差计算步骤

--讨论1-间接平差与附有参数的条件平差的区别

--讨论2-间接平差的特征

--教案~4.1 间接平差原理

-作业--§4.1 间接平差原理

-§4.2 误差方程

--测角网观测方程的组成

--测角网误差方程

--测边网观测方程组成

--测边网误差方程

--边角网间接平差算例

--讨论-间接平差与条件平差的比较

--教材~4.2 误差方程

--教案~4.2 误差方程

-作业--§4.2 误差方程

-§4.3 精度评定

--单位权中误差及协因数的计算

--参数函数的精度评定

--讨论-间接平差法精度评定的方便性

--教材~4.3 精度评定

--教案~4.3 精度评定

-作业--§4.3 精度评定

-§4.4 附有限制条件的间接平差

--附有限制条件的间接平差原理

--附有限制条件的间接平差的精度评定

--附有限制条件的间接平差实例

--附有限制条件的间接平差公式汇编

--讨论-附有限制条件的间接平差

--教材~4.4 附有限制条件的间接平差

--教案~4.4 附有限制条件的间接平差

-作业--§4.4 附有限制条件的间接平差

-§4.5 间接平差估值的统计性质

--间接平差估值的统计性质（一）

--间接平差估值的统计性质（二）

--间接平差估值的统计性质（三）

--讨论-四种平差方法的统一性

--教材~4.5 间接平差估值的统计性质

--教案~4.5 间接平差的统计性质

-作业--§4.5 间接平差估值的统计性质

-实验3 科傻平差软件简介

--实验三—科傻平差软件简介

--教案~实验3

第五章误差椭圆

-§5.1 概述

--点位真误差

--讨论1-点位中误差的特质

--讨论2-点位中误差的局限性

--教材~5.1 概述

--教案~5.1概述

-作业--§5.1 概述

-§5.2 点位误差

--点位中误差的计算

--任意方向φ上的位差

--位差的极大值和极小值

--以极大值E和极小值F表达任意方向上的位差

--讨论1-任意方向上的位差（中误差）

--讨论2-点位位差极大值与极小值的计算

--教材~5.2 点位误差

--教案~5.2 点位误差

-作业--§5.2 点位误差

-§5.3 误差曲线

--讨论-误差曲线的特征

--教材~5.3 误差曲线

--教案~5.3 误差曲线

-作业--§5.3 误差曲线

-§5.4 误差椭圆

--误差椭圆实例

--讨论-误差椭圆与误差曲线

--教材~5.4 误差椭圆

--教案~5.4 误差椭圆

-作业--§5.4 误差椭圆

-§5.5 相对误差椭圆

--相对误差椭圆

--讨论-误差椭圆与相对误差椭圆

--教材~5.5 相对误差椭圆

--教案~5.5 相对误差椭圆

第六章误差分布与平差参数的统计假设检验

-§6.1 概述

--误差分布与平差参数的假设检验概述

--讨论-两类错误

--教材~6.1 概述

--教案~6.1 概述

-作业--§6.1 概述

-§6.2 常用的参数假设检验方法

--u检验方法

--讨论-常用假设检验的适用性

--教材~6.2 常用的参数假设检验方法

--教案~6.2 常用的参数假设检验方法

-作业--§6.2 常用的参数假设检验方法

-§6.3 误差分布的假设检验

--误差分布的假设检验（一）

--误差分布的假设检验（二）

--讨论-误差分布检验的用途

--教材~6.3 误差分布的假设检验

--教案~6.3 误差分布的假设检验

-作业--§6.3 误差分布的假设检验

-§6.4 平差参数的显著性检验

--平差参数显著性检验概述与检验方法

--平差参数显著性检验实例

--讨论-平差参数检验与常用参数检验

--教材~6.4 平差参数的显著性检验

--教案~6.4 平差参数的显著性检验

-作业--§6.4 平差参数的显著性检验

-§6.5 后验方差的检验

--后验方差检验的基本思想

--后验方差检验的实例

--讨论-后验方差检验的用途

--教材~6.5 后验方差的检验

--教案~6.5 后验方差的检验

-作业--§6.5 后验方差的检验

第七章近代平差

-§7.1 序贯平差

--序贯平差原理

--序贯平差精度评定

--序贯平差实例

--讨论-序贯平差的增益矩阵

--教材~7.1 序贯平差

--教案~7.1 序贯平差

-作业--§7.1 序贯平差

-§7.2 秩亏自由网平差

--秩亏自由网概述

--秩亏自由网平差的直接解法

--秩亏自由网平差的附加条件解法

--秩亏自由网平差的精度评定

--秩亏自由网平差实例

--讨论1-秩亏自由网概念

--讨论2-秩亏自由网平差的准则

--教材~7.2 秩亏自由网平差

--教案~7.2 秩亏自由网平差

-作业--§7.2 秩亏自由网平差

-§7.3 附加系统参数的平差

--附加系统参数的平差

--附加系统参数的平差实例

--讨论-附加系统参数的平差的特征

--教材~7.3 附加系统参数的平差

--教案~7.3 附加系统参数的平差

-作业--§7.3 附加系统参数的平差

-§7.4 方差分量估计

--赫尔默特方差分量估计原理

--赫尔默特方差分量估计应用

--讨论-方差分量估计的意义

--教材~7.4 方差分量估计

--教案~7.4 方差分量估计

-作业--§7.4 方差分量估计

由真误差计算中误差的实际应用笔记与讨论

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