当前课程知识点:误差理论与测量平差 > 第三章 条件平差 > §3.1 条件平差原理 > 平差值求取原理
我们这节课的主讲内容是条件平差的平差值求取原理。
在实际测量中,为了提高精度和保证一定的可靠性,一般都会有多余观测,这样就使得观测值之间存在一定的矛盾,
那就是说,观测值的平差值之间就需要满足一些条件,
我们本节课要介绍的条件平差是经典平差的重要方法之一。
其实质是观测值的改正数在满足一定条件下求改正数带权平方和的极值问题,
可以用数学中的拉格朗日乘常数法求条件极值。
首先,我们设在某个测量几何模型中,必要观测数为七个,
我们观测了n个只含偶然误差的独立观测值L1到Ln,
其相应的权为P1到Pn,改正数为V1到Vn以及我们n个平差值,我们把他们用矩阵向量的形式来表示出来。
L是一个n*1维的列向量,V亦是如此。
因为我们是独立观测值,那么这个权阵就会变成n*n维的对角阵。
观测值的平差值等于观测值加上其改正数。
我们表示好了这些矩阵向量,我们考虑一下,
我们在这样的一个几何模型中就会有一个r=n-t个多余观测。
因此,我们可以列出如下r个线性无关的平差值条件方程。
然后,我们令其矩阵A,A0.这样,
我们就把一个纯量形式表达成了矩阵形式。
在这里,我们要强调两点,第一点,我们要注意它的系数阵A阵,它是r*n维的,r是多余观测值,n是观测值的个数,
第二个要强调的是大家要注意它们的名称,A:系数阵,A0:常数项。
有了这个表达式,我们下一步把我们Li的平差值等于观测值加其改正数代入我们平差值条件方程式中,
我们会得到改正数条件方程。
同样的,它也有两种表达形式,一种是纯量的形式,第二种就是我们的矩阵形式,
在改正数条件方程中,矩阵形式里是AV-W=0,我们看到这个V是不是产生了兴趣。
这个呢就是我们要求取的未知数,那式子中的W呢?
我们把它称之为闭合差项。
我们来看一下,分析一下这个式子:AV-W=0。
还记得不,我们刚才强调了一下,A矩阵是几维乘以几维的呢?
r*n维的。r和n,r小于n。
那也就是说我的方程个数小于未知数的个数,这样我们就会得不到唯一的解。
如此,我们需要按照最小二乘原理,也就是求VTPV=min。
这样子的话,我们就把它转化成了一个什么呢?数学问题。
什么样的数学问题呢?把这样一个平差问题转化成了在满足AV-W=0这个条件下的VTPV的极值问题。
我们在数学中会采用拉格朗日乘常数法去求解。
我们来看一下,如何来构成我们这样一个方程拉格朗日函数。
#=VTPV—2KT(AV-W)这样的一个条件。
在这个式子中,我们引入了一个乘常数K。
我们说A是r*n维的,有r个条件方程,因此我们K就是r个未知数。
我们测量中把它称为联系数向量,简称为联系数。
构成了这个方程。我们来对其求解,也就是说对V求一阶导,并令其为零。
我们对其整理之后会得到一个这样的式子V=P-1ATK。
如此我们再分析一下两个方程AV-W=0, V=P-1ATK。
我们称上一个式子为改正数条件方程,它有r个。
下面的V=P-1ATK称为改正数方程,它有n个。
(r+n)个方程,里面未知数的个数V我们说是n个,K联系数r个,
这样子,我们就会发现有多少个方程,解多少个未知数,是不是就有解了呢。
下面我们就把我们的改正数方程代入我们改正数条件方程。
得到如下的式子,这个式子我们令系数Naa=AP-1AT,NaaK-W=0.
这个式子我们就称为联系数法方程,简称法方程。
那K就是未知数K是r个,我们下面可以证明法方程的系数是一个满秩方阵,也就是说Naa的秩等于r,因此Naa存在凯利逆阵。
也就是说,我们就获知了联系数的解,这是很关键的一步,K解出来了,V=P-1ATK,V也就解答出来了,以下就顺理成章了。
观测值的平差值就等于我们的观测值加上我们求出的改正数V,
我们整个的这样的一个条件平差几何模型就求出了观测值的最或然值,我们有时候也把这个称为最优估值。
那为什么呢?它是不是在满足VTPV,也就是误差加权平方和最小的条件下,我们求出来的一个最或然值,最优估计。
它就解决了这个问题了,解决这个问题之后。
如图所示,我们的一个高程控制网,一个平面控制网,
那有了观测值的平差值,我们是不是可以求出待定点的高程,可以求出待定点的纵横坐标,那也就是x,y,h。
是不是我们要求的目的就达到了。
我们来总结一下,首先,我们找出了两个基础方程,然后由两个基础方程构成了法方程并对其求解,
有了K联系数我们求出了改正数V进而可以求出观测值的平差值,你听懂了吗?
好,我们这节课就到此结束。
-§1.1 测量误差及其分类
--内容提要
--测量误差
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-§1.7 由真误差计算中误差及应用
--内容提要
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-§1.8 系统误差的传播
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--系统误差的传播
-作业--§1.8 系统误差的传播
-§2.1 测量平差概述
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--测量平差概述
-作业--§2.1 测量平差概述
-§2.2 测量平差的数学模型
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--条件平差函数模型
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-作业--§2.2 测量平差的数学模型
-§2.3 函数模型的线性化
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-作业--§2.3 函数模型的线性化
-§2.4 最小二乘原理及其应用
--内容提要
--最小二乘原理
-作业--§2.4 最小二乘原理及其应用
-§3.1 条件平差原理
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-作业--§3.1 条件平差原理
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-作业--§3.4 精度评定
-§3.5 附有参数的条件平差
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-§3.6 条件平差估值的统计性质
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-作业--§3.6 条件平差估值的统计性质
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--内容提要
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-§6.4 平差参数的显著性检验
--内容提要
-作业--§6.4 平差参数的显著性检验
-§6.5 后验方差的检验
--内容提要
-作业--§6.5 后验方差的检验
-§7.1 序贯平差
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--序贯平差原理
--序贯平差精度评定
--序贯平差实例
-作业--§7.1 序贯平差
-§7.2 秩亏自由网平差
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--秩亏自由网概述
-作业--§7.2 秩亏自由网平差
-§7.3 附加系统参数的平差
--内容提要
-作业--§7.3 附加系统参数的平差
-§7.4 方差分量估计
--内容提要
-作业--§7.4 方差分量估计