当前课程知识点:误差理论与测量平差 > 第五章 误差椭圆 > §5.2 点位误差 > 任意方向φ上的位差
这一讲我们来学习任意方向φ上的位差
我们知道位差就是在这个方向上的中误差
对吧
它和点位中误差是一致的
那么在说中误差之前
我们先要了解真误差
那么任意方向φ上的点位真误差是什么呢?
我们来看
在前面的讲述中我们知道
点位真误差ΔP可以分解为相互垂直的X和Y方向上的坐标轴误差
从而得到它们之间的关系是平方和关系
那么现在如果有一个任意方向φ
它和坐标轴X加φ角这个方向上的真误差有多大呢?
我们以前也得到过这样的规律
也就是说P点任意两个互相垂直
方向上真位差的平方和是相等的
即等于P点的点位真误差
同时我们也知道,也就说ΔP
可以分解为任意相互垂直的两个
方向上的坐标真误差
同样这个ΔP是不是就可以
分解为沿着φ方向和垂直φ方向上的两个真误差
没错
这是可以的
对吧
好
在这我们记为两个方向
垂直的交点为P''’
好
现在任意方向Y上的真位差
其实也就是ΔP在φ方向上的投影即PP'''这段距离
我们把它记为Δφ
进一步它的大小是什么?
怎么计算呢?
我们可以由ΔX和ΔY来计算
做这样的一个辅助线
辅助线垂直于反方向交于P''点
那么是不是ΔP就等于P''加上P''P'''这两段距离
这两段距离怎么算?
从我们图形上应该很容易看出
它应该和ΔX和ΔY存在这样的关系
也就是PP''等于cosφ乘以ΔX
P''P'''等于sinφ乘以ΔY
这就是在φ方向上的点位真误差
好
有了真误差
我们要看一下它的中误差
也就是位差
那位差如何计算呢
我们先看一下他的真误差表达式
这个位差它其实是ΔX和ΔY的函数
如果我们知道ΔX和ΔY的中误差
我们是不是可以求出Δφ的中误差
可以应用协方差传播律
当然我们最熟悉的还有随机模型
也就是方差等于单位权方差乘以Q
利用协因数来算
也就是σφ的平方应该等于单位权方差乘以Δφ的协因数
在这里面我们就要注意了
要想算出Δφ的方差
也就是σφ的平方
我们必须要解决两个问题
也就是这个表达式里面涉及到的
两个量
第一方差因子——单位权方差
第二 也就是P点在φ方向上点位真误差的协因数Qφφ
首先我们来看一下
Qφφ怎么来解决
在这里
Δφ我们刚才推出来了它和ΔXΔY满足这样的关系
我们说如果知道ΔX和ΔY的协因数
我们是不是可以应用协因数传播律算出Δφ协因数
我们先把它写成矩阵形式
变量向量是ΔXΔY
那么如果我知道了ΔXΔY对应的系数阵
再把系数阵和协因数阵应用协因数传播律组合
就能够计算出Qφφ
那么,ΔXΔY对应的协因数阵去哪里找呢?
没错
我们经过平差解算就能够得到它的协因数阵了
所以,这样一算我们就得到了Qφφ的表达式
比如说这里面QXX和QYY是可以获取的
我们上一讲其实已经提到过了
在这我们继续看
我们刚才找到了任意方向φ上的位差计算公式
在这里面协因数我们已经解决了
那方差因子,我们一般如果在平差之前
可以通过先定权
我们去根据规范等等来定
那么平差之后
单位权方差我们是可以通过公式计算的
好
在这儿我们就先不说了
得到了Qφφ的计算式
我们带入到上面的σφ的平方
这个计算式里面就可以得到
任意方向φ上的位差计算式
当然我们知道在测量平差过程中
观测数量是有限的
所以我们只能得到它的估值
这就是它的估值公式
我们也把它叫做实用公式
好
得到了任意方向φ上位差的计算
公式
下面我们继续来看
前面我们提到点位方差
与坐标系统的选择无关
那么现在我们把坐标系旋转一个角度
这样P点的点位真误差
就可以在新的坐标系
纵横坐标轴方向进行分解
这个时候我们刚才的任意方向就
和坐标轴X方向加了一个φ'角
那么在给定φ’方向上的位差
怎么计算呢
其实和我们刚才是类似的
我们仍然按照什么呢
σφ'的平方等于单位权方差乘以φ‘方向对应的协因数
如果我知道ΔX’和ΔY’对应的协因数的话
我们是不是就可以按照
刚才计算φ方向位差的思路来计算
直接代入就可以了
直接代入就可以了
这是给定φ’方向上的
那么我们再想之前我们说点位方差
与坐标系统的选择无关的时候
ΔP还可以分解为沿着AP
方向和垂直AP方向两个方向上的坐标真误差
在这个坐标系里面
我们出现了一个ΔS和ΔU
那是不是我们也可以在这个
坐标系里面任意给定φ''方向
我们是不是也可以算出它的位差
没错是可以的
同样我要知道谁QSS和QUU
那么再知道单位权方差
往我们的公式里面代入
就可以得到I在φ''方向上的位差了
好
通过上面的分析
我们清楚了任意方向φ上的位差实用公式
就是这个表达式
在这里面我们说单位权方差是常数
然后任意方向φ上的位差
其实它的大小取决于谁
取决于φ,只有φ是怎么样的
是一个可变的(量)
它的范围是多大
是0到360度
那是不是说φ的不同
那么方差或者说位差也就不同
这里面φ我们可以取无穷多个
所以σφ的平方也有无穷多个
那么是不是有最大的、有最小的呢?
这样的话我们就可以研究它的规律了
那么后面呢我们就会学习怎么样
求这个位差的极大值和极小值
好
这一讲的内容我们就学习完了
下一讲我们就学习位差的极大值E和极小值F的求解方法
-§1.1 测量误差及其分类
--内容提要
--测量误差
-作业--§1.1 测量误差及其分类
-§1.2 偶然误差的概率特性
--内容提要
-作业--§1.2 偶然误差的概率特性
-§1.3 精度及其衡量指标
--内容提要
--衡量精度的指标
-作业--§1.3 精度及其衡量指标
-§1.4 协方差传播律
--内容提要
--协方差与相关
-作业--§1.4 协方差传播律
-实验1 Excel中的矩阵运算
--教案~实验一
-§1.5 权与常用的定权方法
--内容提要
--权与单位权
--讨论1-权的意义
-作业--§1.5 权与常用的定权方法
-§1.6 协因数及其传播律
--内容提要
--协因数阵
--协因数传播律
-作业--§1.6 协因数及其传播律
-实验2 MATLAB的矩阵运算
--教案~实验二
-§1.7 由真误差计算中误差及应用
--内容提要
-作业--§1.7 由真误差计算中误差及应用
-§1.8 系统误差的传播
--内容提要
--系统误差的传播
-作业--§1.8 系统误差的传播
-§2.1 测量平差概述
--内容提要
--测量平差概述
-作业--§2.1 测量平差概述
-§2.2 测量平差的数学模型
--内容提要
--条件平差函数模型
--间接平差函数模型
-作业--§2.2 测量平差的数学模型
-§2.3 函数模型的线性化
--内容提要
-作业--§2.3 函数模型的线性化
-§2.4 最小二乘原理及其应用
--内容提要
--最小二乘原理
-作业--§2.4 最小二乘原理及其应用
-§3.1 条件平差原理
--内容提要
--平差值求取原理
--水准网算例
-作业--§3.1 条件平差原理
-§3.2 条件方程
--内容提要
--水准网条件方程
--测边网条件方程
-作业-§3.2 条件方程
-§3.3 导线网条件平差计算
--内容提要
--导线条件平差实例
-作业--§3.3 导线网条件平差计算
-§3.4 精度评定
--内容提要
-作业--§3.4 精度评定
-§3.5 附有参数的条件平差
--内容提要
-作业--§3.5 附有参数的条件平差
-§3.6 条件平差估值的统计性质
--内容提要
-作业--§3.6 条件平差估值的统计性质
-§4.1 间接平差原理
--内容提要
--间接平差计算步骤
-作业--§4.1 间接平差原理
-§4.2 误差方程
--内容提要
--参数选取
--测角网误差方程
--测边网误差方程
-作业--§4.2 误差方程
-§4.3 精度评定
--内容提要
-作业--§4.3 精度评定
-§4.4 附有限制条件的间接平差
--内容提要
-作业--§4.4 附有限制条件的间接平差
-§4.5 间接平差估值的统计性质
--内容提要
-作业--§4.5 间接平差估值的统计性质
-实验3 科傻平差软件简介
--教案~实验3
-§5.1 概述
--内容提要
--点位真误差
--点位方差
--教案~5.1概述
-作业--§5.1 概述
-§5.2 点位误差
--内容提要
--点位中误差的计算
-作业--§5.2 点位误差
-§5.3 误差曲线
--内容提要
--误差曲线
-作业--§5.3 误差曲线
-§5.4 误差椭圆
--内容提要
--误差椭圆
--误差椭圆实例
-作业--§5.4 误差椭圆
-§5.5 相对误差椭圆
--内容提要
--相对误差椭圆
-§6.1 概述
--内容提要
--讨论-两类错误
-作业--§6.1 概述
-§6.2 常用的参数假设检验方法
--内容提要
--u检验方法
--t检验法
--χ2检验法
--F检验法
-作业--§6.2 常用的参数假设检验方法
-§6.3 误差分布的假设检验
--内容提要
-作业--§6.3 误差分布的假设检验
-§6.4 平差参数的显著性检验
--内容提要
-作业--§6.4 平差参数的显著性检验
-§6.5 后验方差的检验
--内容提要
-作业--§6.5 后验方差的检验
-§7.1 序贯平差
--内容提要
--序贯平差原理
--序贯平差精度评定
--序贯平差实例
-作业--§7.1 序贯平差
-§7.2 秩亏自由网平差
--内容提要
--秩亏自由网概述
-作业--§7.2 秩亏自由网平差
-§7.3 附加系统参数的平差
--内容提要
-作业--§7.3 附加系统参数的平差
-§7.4 方差分量估计
--内容提要
-作业--§7.4 方差分量估计