当前课程知识点：量子力学（上） > 第二章波函数与薛定谔方程 > 2.1波函数 > 2.1.3 波函数的归一化

返回《量子力学（上）》慕课在线视频课程列表

2.1.3 波函数的归一化在线视频

2.1.3 波函数的归一化

下一节:2.1.4 态叠加原理

返回《量子力学（上）》慕课在线视频列表

2.1.3 波函数的归一化课程教案、知识点、字幕

基于对波函数的几率诠释

我们可以有另外一个概念

叫做波函数的归一化

因为波函数的模平方

描述的是几率

我们可以观察

两个不同的波函数

所描述的几率是不是一致的

我们来看这样的一个比值

左边是把一个波函数

乘上了一个常数c

在两个不同的点的

模平方之比

那么很显然

这个 c 的模平方

在分子和分母上同时出现

是可以消掉的

所以说

右边这个常数 c 就不再出现

由于几率具有相对的性质

所以在波函数上乘以一个常数

它们仍然描写量子体系的

同样的状态

这是量子力学的

一个重要的原理

以后我们将多次地利用

这个原理

波函数的这个特征

也表明了

量子的波动和经典的波动

是完全不同的

假如我们考虑一个经典的波

一开始写下了

它的一个振幅形式

然后把这振幅乘以一个常数

比如说乘以 2

那么它的能量就要乘以 4

在经典波的意义上

能量的扩大

是完全可以观察到的

也就是说

是完全可以区分的

所以量子的波和经典的波

是完全不同的

如果我们考虑

在整个空间发现

粒子的几率的话

那么这就是 ρ

在全空间的积分

也就是 Ψ 的模平方

在全空间的积分

对于这个积分

有一种很方便的选择

那就是

让这个积分等于 1

这种做法就叫做

波函数的归一化

这个归一化

从几率的角度来说

是一个很自然的选择

因为只要粒子

不发生湮灭这样的过程

我们总可以

在空间的这一点

或者那一点

发现这个粒子

也就是说

在全空间发现这个粒子

是一个必然事件

而在概率论里

必然事件的几率

可以归一化到 1

所以说

波函数的归一化

和几率的归一化

具有同样的含义

对于波函数的归一化

还有几点需要说明

第一

如果要求一个波函数

是归一的

那么我们可以

乘上一个

模为1的一个因子

这个归一化条件并不会改变

所以波函数归一化的要求

并没有完全确定

这个波函数的值

它仍然有一个整体的

也就是常数的

位相因子 e^iθ

是不能确定的

这种在波函数上

包括任意位相因子的自由度

在量子力学里

是一个特殊的问题

此后我们将会以不同的方式

对于这种位相因子的选择

给予说明

第二点

我们现在要做一个

所谓一个函数

在全空间的积分

那么这个积分

并不一定保证是有限的

很有可能

这个积分

是一个无穷大的量

对于这样波函数

实际上是不能归一的

或者准确来说

是不能有限地归一的

事实上到目前为止

我们所知道的

具体的波函数的例子

只有de Broglie波

而它恰好属于

不能归一的波函数

这时候 Ψ 的模平方是代表着

相对的几率密度

我们不再谈到总几率

我们上面讲到的

是单粒子的状态的描写

也就是单粒子波函数

在更普遍的情况下

可以考虑

由 N 个粒子组织成的系统

那么这样的系统的波函数

就是 N 个粒子的坐标

以及时间的复函数

对于这样的波函数的

几率解释

就是把这个波函数

求模平方

再乘以 N 个粒子的体积元

它代表的是

第一个粒子出现在

r_1 附近的体积元

dx_1dy_1dz_1

与此同时

第二个粒子出现在

r_2 附近的体积元

dx_2dy_2dz_2

等等等等的几率

这样的 N 粒子波函数的归一化

就是 Ψ 的模平方

对于 N 个粒子

在无穷大空间当中

出现的总几率取为 1

由于以后有的时候

不特别指定

系统里的粒子个数

而用 dτ 表示一般的

空间体积元

所以当我们把那些公式

应用于具体的系统的时候

对于一维的一个粒子

dτ=dx

对于三维中的一个粒子

dτ 就是dxdydz

而对于 N 个三维粒子

就是 N 个这样的体积元的乘积

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

2.1.3 波函数的归一化笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。