*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成在线视频

下面

我们就通过一个

具体的模型

来解释能带结构

是如何生成的

这个模型叫做

克勒尼希-彭尼模型

它采用的周期性势场是

周期性的方势垒方势阱

也就是下面这样一种形态

比如说

我们把x等于零

到x等于a

叫做第一个周期

那么

在x从0到b的

这段区间里边

势能是零

而x从b到a的

这段区间里边

势能是U_0

以后为了方便起见

我们把这一段

叫做势阱

这一段叫做势垒

而能量E取在

0和U_0之间

我们在势阱和势垒

这两个区间中

分别定义两个常数

在势阱里定义k

它是由E和零所决定的

在势垒里定义α

它是由E和势能最高值

来决定的

那么

在阱里和在垒里的方程

就分别是这样的两个

常系数常微分方程

其中要注意

在这个方程里边

这项前面是正号

在这个方程里边

这项前面是负号

那么

这样的两种不同方程的解

大家是很熟悉的

那就是

在势阱里它是

虚指数函数的线性组合

而在势垒里

它是实指数函数的

线性组合

其中在势阱里边的

x前面的系数是k

而在势垒里边的

x前面的系数是α

至于说在其它的周期里的解

我们就可以借助于

弗洛盖定理得到

比如说

我们向前走一个周期

走到x大于a小于2a

那么根据弗洛盖定理

这个区间的波函数

就可以通过

第一个周期里的波函数

乘上这个位相因子得到

于是把它进行这样的改造

就得到了

第二个周期里边的波函数

那么根据我们对于

波函数所提出的要求

它应该是本身连续

一阶导数也连续

对于现在我们考虑的

这样的解

这样的连接点

应该考虑两个

一个是

x等于b的这一点

要把它两个连起来

一个是

x等于a的这一点

应该把这个和这个连起来

根据这样的衔接条件

我们就得到了

这个方程组

仔细观察一下

这个方程组里边包含有

四个未知系数就是

A B C D

而整个这个方程组

是关于这四个未知数的

线性的和齐次的方程组

意思就是说

除去包含这些未知数的

项之外

没有另外的常数项

而根据线性代数的一般理论

要这个方程组有非零解

这个方程系数行列式

必须是等于零的

也就是说

我们要有一个

这样的一个方程

这个方程

是一个四行四列的行列式

其中的各项

就是刚才那个方程的系数

这是一个比较复杂的计算

我们在这里

略去它的具体的计算过程

得到最后的结果

是这样的一个结果

这里边的K

就是布洛赫波数

c用来代表a减b

也就是说是势垒的宽度

大家知道

这个函数cos

它的绝对值

一定要小于或者等于1

所以说把这个条件

应用到这个关系上来

我们就发觉这个表达式

必须处于负1和正1之间

而这里的k和α

都是用能量E

来决定的一个表达式

当然ABC等等是已知参数

所以实际上

这是E所满足的一个不等式

这个不等式的解就给出了

E的允许的范围

为了看清

我们如何从

这样的一个不等式

得到一个能带

我们来考虑一个极限的情形

那就是让势垒趋近于δ函数

图象的说就是这样一种情形

你要把每一个这样的峰

想象成为无限的窄

而无限的高

那么解析的说

就是让刚才的那个

方的势垒势阱

走向这样的极限

b要趋近于a

也就是c趋近于0

而U0趋向于正无穷

C和U0和乘积

成为一个有限值

这个A是一个有限的常数

那么

我们就可以再就进一步的

解析的分析

为方便起见

我们引入

第一这是一个∧

是一个无量纲的参数

还有刚才的那个

δ势的强度

和其它的一些模型参数

来决定

这个ξ就是由E

和其它的模型参数

所决定的一个变量

那么这个方程就可以写成为

f(ξ)在负1到正1之间

而f(ξ)是一个由初等函数

所构成的一个

这样的函数

为了了解刚才那个

不等式的解

我们采用一个

比较直观的作图法

把参数Λ取作等于4

那么我们就可以画出

f(ξ)的曲线

在这个图上横轴这是ζ

纵轴就是f(ξ)

Λ取定为4

那么

结果的曲线

就是这条蓝线

根据我们的不等式

f(ξ)只有处在

正1和负1之间

才是物理上允许的情形

于是我们就通过η

等于正1和η等于负1

画出两条

和横轴平行的直线

这两条直线

就把这个蓝色的曲线

截成了许多段

只保留

在这两条平行线之间的部分

所对应的ξ

就是物理上

允许的能量值

比如说

这一段蓝色的曲线

被两条直线截出了这一段

把这两个端点

所对应的ξ的值找出来

就对应着ξ

轴上的一段红色的线段

它就对应着

物理上允许的能量值

继续的向前走

我们发觉

得到了一系列的

有限的段落

这些段有一个共同的特点

那就是

它们的右端点

都恰好是π的整数倍

比如说

这是π这是2π

这是3π这是4π等等

经过这样的分析

我们就可以从ξ的允许值

得到E的允许值

因为

E等于hbar平方ξ平方

2ma平方

而ξ的允许值是分段的

于是E的允许值

也就是分段出现的

这就是所谓的能带结构

在这个图上我们就给出了

狄拉克梳子的具体的情形

纵轴就是能量

被斜线填充的区域

是允许的

而空白的区域

是禁止的

具体的标注上

纵轴的E

以h平方除以8ma平方

为单位

所以说

每一个允许带的上端

都是完全平方整数

在固体物理里

E的这些允许区间

通常称为允带

由于这些允许的能带

要被电子填充

所以

按照被电子填充的情况

又可以分为满带

那就是

电子完全把这个能带填满

和导带通常的意义是

部分的被填满

而不允许的能量范围

被称为禁带

也称为能隙

倒过来说

只要我们取一个

允许区间里的能量值

再通过这个方程

又可以反过来

把K求出来

所以说

又得到了一个这样的关系

就是把E用K来表达

这个关系在固体物理里

称之为色散关系

我们刚才说的

周期性势场的情况

假设为存在于整个实轴

事实上一个固体样品

它能包含的

周期势场的周期数目

是有限的

如果是整个实轴的情形

能带里的能量

是连续变化的

就象刚才我们画的那个图

如果它只延续N个周期

那么

在一个能带里边的能级

是准连续的

意思就是说

临近的能级之间

有非常小的间隔

一条能带里的能级总数是N

这是一个固体样品

更现实的一个物理情形

我们所讲的这个例子是一个

一维周期性势场的例子

实际的三维固体晶格

形成的是三维的周期性势场

这样的势场

具有更丰富的平移和旋转

对称性

这些对称性

所导致的物理结果

就是

固体物理和晶体学研究的

重要内容

能带这个特点

在解释固体的

电学 力学

光学等等性质方面

起了非常重要的作用