当前课程知识点：量子力学（上） > 第三章 一维势场中的粒子 > 3.4 线性谐振子 > 3.4.3 线性谐振子的能级和波函数
现在我们把
线性谐振子的能级
和波函数做一个总结
首先说能级
它是 E 用 n
作为一个量子数来表征
等于
(n+1/2)hbar ω
n 可以取
全部的非负整数
它对应的波函数
是 ψn(x) 等于
一个归一化常数
N 乘以
厄密多项式
先写是作为 ζ 的函数
然后
e-ζ2/2
而 ζ 是等于 αx
α 是由普适常数
和模型参数
所决定的一个常数
这里 N
是一个归一化因子
它应该由这个归一化条件
来决定
在求这个积分的时候
可以注意厄密多项式
具有正交性
这个正交性是需要
乘上这样一个因子之后
再作积分
这个因子称之为权
所以两个厄密多项式
乘以权函数
在整个实轴上进行积分
只有当
它的阶次相同的时候
才不等于零
如果 m ≠ n 的
这个积分等于零的
所以这里
引用了一个这样的符号
δmn
它的定义是
当 m ≠ n 的时候是 0
当 m = n 的时候是 1
注意到这样的关系
就可以得到
这个归一化因子
是这样的一个常数
为了有一个具体的印象
下面写出三个最低的
能级的波函数
基态波函数
就是这个样子
那么大家知道
除去这个常数以外
这样的一个函数
通常称之为
高斯函数
而第一激发态的波函数
是在高斯函数之外
又多了一个
αx 这样的一个因子
第二激发态的波函数
就乘的因子
就是一个
二次多项式了
这里画出了
前面五个能级的
波函数的图形
这就是基态波函数
它是非常典型的
一个高斯函数
其余那些波函数
分别有
不同数目的
极大和极小值
如果我们把这些波函数
求平方
将会得到的是
粒子的位置几率分布
这个图就演示的是
前五个态的
位置几率分布的情况
它出现的极值的数目
仍然是依次增加
并且
大家还发现一个规律
那就是
最高的峰出现在两侧
对于这些能级
和波函数的特点
我们可以再做
下边一些
进一步的分析
第一
很明显的一个事实是
能级是等间隔排列的
第二
最低的能级
并不等于零
我们知道
这个能级称之为
零点能
它是 hbar ω 的一半
说到能级的宇称
我们看到
它再一次表现出
偶奇相间的特征
基态是偶宇称的
还有
就是关于波函数的
节点的数目
我们发觉
基态是没有节点的
第一激发态的波函数
有一个节点
所以一般而言
第 n 个能级的波函数
有 n 个节点
最后
要说到的是
量子的谐振子
和经典的谐振子
有重要的区别
我们在讲到
薛定谔方程的
一般特征的时候
把薛定谔方程的空间区域
划分为经典允许区
和经典禁戒区
量子粒子的特点
就是
它也有一定的概率
出现在经典允许区以外
现在我们
看这头三个波函数
它们分别
对应着不同的
经典允许区的宽度
这是基态波函数的
经典允许区
这是第一激发态的
这是第二激发态的
那么这些区域都叫做
经典禁戒区
但是
在这些区域
波函数并不等于零
更数量地说
我们就取
基态为一个例子
这时候它的能量
是 1/2 hbar ω
刚才所画的
经典允许区的范围
正好是
αx 的绝对值
小于等于 1
而在这之外
就是经典禁戒区
我们可以计算出
粒子出现在
经典允许区之外的概率
这个概率
是一个这样的比值
上面的积分
区间是从 1 到无穷
下面的积分
区间是从 0 到无穷
数值计算
给出这个数值
大约是 16%
图示的就是这样的一个图
很显然
粒子也可以在
经典禁戒区里出现
是一种量子效应
这个效应
在量子基态的时候
表现得最明显
也就是
它在经典禁戒区里出现
的概率
所占的比率是最大的
随着能量增加也就是
量子数 n 增大
这个几率会逐渐下降
因此我们可以
把量子振子的
位置几率分布
和经典振子的
位置几率分布
做一个比较
并且
把注意力放在
n 很大的时候
这个图就是
在 n = 100 的时候
的经典振子
和量子振子的
位置几率的一个比较
这里的实线
是量子振子的
几率分布
虚线是经典振子的
几率分布
我们发觉
如果
对量子振子的几率分布
做一个平均
它就非常接近
经典振子的几率分布了
这个结果就使得
玻尔提出了一个对应原理
他说
在大量子数的极限下
量子理论
趋近于经典理论
但事实上
从刚才所显示的
曲线仍然可以发现
量子的几率分布
有非常剧烈的振荡
这一点和经典理论
仍然有区别
所以
对于经典理论
和量子理论的比较
后来
又有了新的观点
那就是应该用
量子态经过线性组合
构成所谓的相干态
可以证明
相干态
在很多方面的性质
和经典态非常接近
-引言
--引言
-1.1 普朗克的光量子假说
-1.2 玻尔的原子结构模型
-1.3 德布罗意的物质波假说
-第一章 量子力学的历史渊源--第1周作业
-2.1波函数
-第二章 波函数与薛定谔方程--第2周作业
-2.2 薛定谔方程
-第二章 波函数与薛定谔方程--第3周作业
-3.1一维运动问题的一般分析
-第三章 一维势场中的粒子--第4周作业
-3.2 方势阱
-3.3 δ函数势阱
-第三章 一维势场中的粒子--第5周作业
-3.4 线性谐振子
-3.5 一维散射问题
-第三章 一维势场中的粒子--第6周作业
-*3.6 δ势的穿透
-*3.7 周期性势场中的能带结构
--第三章 一维势场中的粒子--第7周作业
-4.1 算符及其运算
-第四章 力学量用算符表示--第8周作业
-4.2 厄密算符的主要性质
-第四章 力学量用算符表示--第9周作业
-4.3 动量本征函数的归一化
-4.4 角动量算符的本征值和本征态
-第四章 力学量用算符表示--第10周作业
-5.1 量子力学中的守恒量
-5.2 对称性与守恒量
-第五章 量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业
-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性
-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画
-第五章 量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业
-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质
-*6.2 球无限深势阱
-第六章 中心力场--第13周作业
-6.3 三维各向同性谐振子
-6.4 氢原子和类氢离子
-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程
-*7.2 朗道能级
-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应
