2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示在线视频

现在我们考虑

计算力学量的

平均值的问题

因为前边我们已经定义了

力学量的分布几率

所以计算它的平均值

是一件很直接的事情

假如我们用

小写的字母 ψ(r)

代表和时间无关的波函数

而且假设它已经归一

由于 ψ(r) 的模平方

代表坐标几率密度

所以坐标 x 的平均值就是

ψ 的模平方乘以 x

再乘以空间体积元作积分

对于坐标 y 和 z 也是类似的

所以我们可以把它写成一个

用矢量来表达的式子

就是 r 矢量的平均值等于

ψ(r) 的模平方乘以 r 再乘以

空间体积元作积分

为了和后面的表达式比较

我们也可以把它重新写为

ψ^*(r) 乘以 r 再乘以 ψ(r)

对空间体积元的积分

得到 r 的平均值

这里要注意一点

刚才写下的公式的前提

是 ψ(r) 已经归一了

如果我们拿到的波函数

是没有归一的

那么

求平均值的公式

就要略作修改

那就是说它是一个比值

分子上是刚才写下的表达式

还要除以分母上就是 ψ

的模平方的积分

知道了 r 的平均值

对于 r 的任何函数的平均值

其实也就不难求了

比如说

势能 V 是 r 的函数

那么它的平均值就是

下面这个表达式

其中只是在积分里面

用 V(r) 代替了 r

当然　再次强调一下

这个式子是在 ψ

已经归一的条件下

写出来的

下面这个问题略微有些复杂

那就是求动量的平均值

因为这个时候

我们要从动量的分布几率

来计算了

那就是 p 的平均值是

φ(p) 的模平方乘以 p

再对动量空间的积分元

作积分

我们知道 φ(p) 是 ψ(r) 的

傅立叶变换

这里就提出了一个问题

我们能不能用 ψ(r)

来计算 p 的平均值呢

当然

第一步我们先要注意

从 ψ(r) 变换到 φ(p) 的

这个变换式

利用这个式子

我们就可以进行下面的推导

第一步先写出 p 的平均值

用 φ(p) 和它的复共轭

以及 p 的积分的这个表达式

这实际上是 p 的平均值的

原来的定义

第二步

我们把 φ(p) 的复共轭

重新用 ψ(r) 的复共轭的积分

表出 这是傅立叶变换的

复共轭式

我们发觉这个式子里面

是一个二重积分

既对 r 积　也对 p 积

第三步

我们把这两个积分

交换一下顺序

也就是说

在第二个式子里边

先进行对 r 的积分

到了这一步

把两个积分次序交换一下

就是先进行 p 的积分

那么这时候别忘了

这个 p 要拿到这个积分里面来

那么 r 在这个积分里的作用

是什么呢

我们知道它叫参数

就是对 p 进行积分的时候

先把 r 的值取定

因而这个积分是 r 的函数

第四步

我们发觉这里有个 p

乘以这个 φ(p)

而对于这个整个的积分来说

r 是一个参数

我们是可以对参数微分的

那么只要注意对这个 φ(p)

里边的参数 r 作微分

正好就会出一个 p 矢量

所以说

我们把这个表达式

重新写为

这个积分

注意　这个积分里边是

没有这个 p 的

这个 p 通过

对于参数 r 作微分得到的

于是就变成了一个

这样的式子

而这个括号里边的积分

不是别的

恰好又回到了 ψ(r)

经过这么几步推导

我们就发现

动量 p 的平均值

也可以借助

坐标空间的波函数

ψ(r)计算出来

然而这里最关键的

是出现了这样的一个

微分算符

借助于这个算符

我们就可以用坐标的波函数

计算动量的平均值

我们就把这样一个算符

用一个新的符号来代表

那就是 p 矢量

上边加一个帽子符号

此后

我们总是用某一个

字母上面加一个帽子

代表一个算符

这个平常叫做倒三角算符

它实际上一方面是

微分算符

这里包含对 x, y 和 z 的偏微分

另一方面

它又是一个矢量

这是 x, y 和 z 方向上的

单位矢量

这样构造出来的一个东西

我们就可以

用它来计算 p 的平均值

利用的却是

坐标 r 的波函数

这里就引导出一个

重要的量子力学概念

那就是

力学量用算符来代表

而这里的 p 帽子

就是代表动量的算符

当然

我们一定会问

我们会有很多其他的物理量

在原理上

它们都应该用算符来代表

那么怎么能够得到

其它的物理量的算符呢

比如说 动能 T

在经典力学里面

T 可以用动量 p 来表达

那就是 p 平方除以 2m

所以我们就可以推广地说

在量子力学里

代表动能这个物理量的算符

就是把这样一个经典的

动能表达式里边的动量

用它的算符来代表

所以说

T 算符或者说T帽子

等于 p 算符的平方除以 2m

而 p 本身是一个 -i hbar

倒三角算符

因此这里出一个负号

分子 hbar 平方

分母 2m

最重要的是后边这个

倒三角平方算符

数学上叫做拉普拉斯算符

以后我们在量子力学的

问题里边

经常会处理

角动量这个物理量

它的经典力学的定义

就是 r × p

这里叉乘是矢量的叉乘运算

具体地说

如果把 L, r, p 都写成

它们的分量的话

是底下的这三个式子

那就是

L_x 等于

y 乘以 p_z 减去 z 乘以 p_y

对于 L_y 和 L_z 也是类似的

那么

根据刚才的规则

在量子力学里面

L 也是一个算符

L 算符就等于

r 算符叉乘上 p 算符

根据我们刚才引进的

计算 r 平均值的那个公式

就知道

r 算符其实就是 r 自己

而 p 算符是 -i hbar

倒三角算符

所以说

在量子力学里边的

角动量算符

就是这个表达式

总体来说

利用算符这个手段

前面的求平均值的公式

就适用于任何物理量

也就是说

只要我在量子力学里

有一个算符

能够代表力学量 F

那么 F 的平均值

就是这样的一个积分

先写 ψ 的复共轭

然后写 F 的算符

再写 ψ 对空间体积元取积分

当然这个式子的前提是 ψ

自己是归一的

如果 ψ 没有归一

我们就要做一个除法

它的分子就是这个表达式

分母上就是

ψ 的模平方

对空间体积元的积分

由于我们以后经常要计算

力学量的平均值

所以说

同学们要记住

当拿到一个波函数以后

最好先检查一下

它是不是已经归一的

如果已经归一

那么计算平均值就很方便

就是上边这个式子

如果没有归一

那就要小心啦

必须用下边这个式子

才能正确地计算出

力学量的平均值

我们在这里介绍的

用算符代表力学量

这个概念

目前

只是说它能够给出

力学量的平均值

但是事实上

用算符代表力学量

在量子力学

里有更多的意义

这个问题

我们将会继续向大家介绍