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4.1.3 算符的运算和厄密算符在线视频

4.1.3 算符的运算和厄密算符

下一节:4.1.4算符的对易关系

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4.1.3 算符的运算和厄密算符课程教案、知识点、字幕

由于我们在很多情况下

要进行算符的运算

就是大家通常所知道的

加减乘除等等

因此我们下边要介绍

算符的运算规则

还有另外一个概念是

一个算符会有它的伴生算符

厄密算符是其中很重要的一个

伴生算符

这里也要加以介绍

首先来介绍算符的运算

大家最熟悉的运算是加法

这里要注意

一个算符是通过

它对波函数的作用

产生什么样的

新波函数的这种方式

来定义的

所以说

当我们定义

算符之间的关系的时候

本质上说是定义

当它们作用于

任意给定的波函数的时候

会成立什么关系

所以

这里我们定义算符的相加

是下边这个式子

比如说

(F̂ + Ĝ)

作用于 ψ

它定义为

等于 F̂ 作用于 ψ

加上 Ĝ 作用于 ψ

其中 ψ 是任意给定的波函数

完全类似的

算符的相乘

也是用两个算符的乘积

作用于波函数

如何得出新的波函数的

这个规则来表达的

那就是

F̂Ĝ

作用于 ψ

等于 F̂(Ĝψ)

这里的意思是

先用 Ĝ 作用于 ψ

得到一个新的波函数

再用 F̂

作用于这个新的波函数

又得到一个更新的波函数

来定义

什么叫做 F̂ 和 Ĝ 的乘积

次序在这里一定注意是

Ĝ 作用在先, F̂ 作用在后

大家知道

如果对于普通的数而言

加和乘的混合运算

是满足分配律的

这里我们发觉

如果把上面的

关于相加和相乘的定义

用到这个式子里来的话

那么

它们仍然满足分配律

那就是下边这两个式子

Â 和 B̂ 相加之后乘以 Ĉ

就等于 ÂĈ

加上 B̂Ĉ

完全类似的

加和乘的运算顺序

如果换一下的话

分配律仍然是可以满足的

两个算符的相等

就是

它们作用于任何波函数

保持相等

那么两个算符就是相等的

有一个特殊的算符

是单位算符

它的定义就是

Î 作用于 ψ

仍然等于 ψ 而且这个 ψ

是一个任意的波函数

由这个等式就很容易证明

ÎF̂

也就等于 F̂Î

其实也就等于 F̂

这个 F̂ 是任意的算符

在这个意义上

Î 就可以简写为 1

以后我们许多式子

在一个算符的表达式中

出现 1 的时候

都应该

把它理解成为单位算符

在经典力学里边

经常会用力学量

构造出新的函数

现在力学量用算符来代表了

那么

在量子力学里边的

算符的函数

是不是永远有意义呢

由于我们对于算符的运算

作了一个局限性的定义

所以算符的函数

也只有在一些

特定的情况下才有意义

特殊地说

如果我们考虑

一个坐标算符的函数算符

记作 V̂(r̂)

它的定义是比较直接的

因为 r̂ 就是 r 自己

所以说 V̂(r̂)

也就是 V̂(r)

另外一种情形

那就是

除去坐标算符以外

有一些算符构成多项式

或者是收敛的幂级数

也可以认为是有定义的

因为

这样的函数

也只是涉及加和乘

这样的运算, 而这个运算

是在算符的意义上

可以严格地定义的

一个很常用的算符

是指数算符

那就是 e^Ô

由于这样的一个指数函数

可以展开成为收敛的幂级数

那就是一个无穷级数

n 从零到无穷求和

每一项是 n 的阶乘分之一

O 的 n 次幂

这里只要把 O 代替为 Ô

也就定义了 e^Ô

这样的一个算符的函数

有一个特殊的运算是除法

在算符的意义上

实际上是定义了

一个算符的逆算符

比如说

Ô 的逆算符

我们把它记为

Ô 右上角 -1 就是幂

这个算符有的时候

也就记成为 1/Ô

但是对它的理解

要通过一个乘法来理解

那就是 Ô^-1

乘以 Ô

也就等于 Ô

乘以 Ô^-1

这个乘法的结果是单位算符

能够写下这样的等式的前提

那就是 Ô 是可逆的

然后我们来谈

一个算符的伴生算符

伴生算符有各种不同的类型

在量子力学里边

以后我们将要用到的

是它的厄密共轭算符

记作 F̂^†

右上角加一个这样的符号

这个符号应该念作 dagger

它的英文的词的意思是短剑

以后

我们谈到这个算符的时候

就念作 F̂^†

它的定义是这样子的

写下一个积分

这个积分里边

出现任意给定的两个

函数 ψ 和 ϕ

其中左边的那个因子

永远是要取复共轭的

这个等式是这样构成的

这样的一个积分

ψ^*

乘以括号 F̂ϕ 的积分

让它等于

左边的这个函数因子

被代替为 F̂^†

作用于 ψ 然后取复共轭

乘以 ϕ 再积分

而这两个积分是相等的

如果对于任意给定的 ψ

和 ϕ

这个等式都成立

我们就把这个算符

称之为 F̂ 这个算符的

厄密共轭算符

对于厄密共轭

这样的一个伴生关系

需要注意的是

当它作用于算符乘积的时候

有一个次序交换的问题

那就是 F̂ 和 Ĝ 先乘起来

再做厄密共轭

它却等于

左边是 Ĝ 的厄密共轭

乘以右边是 F̂ 的厄密共轭

也就是说

左方和右方的乘积的顺序

有一个交换

这个等式用上面这个定义

其实是很容易证明的

那就是把这个地方

用算符乘积代进去

然后利用这样的

厄密共轭的定义

依次地把这个两个算符

挪到

作用于左边的这个波函数

你就很容易发觉

这个等式是成立的

特殊地说

如果一个算符

和它的厄密共轭是相同的

那么这样的算符

就称为自厄密共轭算符

也就简称为厄密算符

厄密算符事实上

是以后我们在量子力学里边

最经常地要处理的算符

很显然

如果 F̂ 这个算符是厄密的

那么

下面这个等式就是成立的

这个等式以后要多次用到

所以

我再说明一下它的构成

是这样的一个积分

有任意的两个函数 ψ 和 ϕ

左边的这个函数因子

永远是要取复共轭的

等号左边的这个式子里的积分

是 F̂ 作用于 ϕ

而等号右边的

这个式子的积分

是 F̂ 作用于 ψ

这样的两个积分

对于厄密算符 F̂ 而言

是永远恒等的

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

4.1.3 算符的运算和厄密算符笔记与讨论

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