当前课程知识点：量子力学（上） > 第二章波函数与薛定谔方程 > 2.1波函数 > 2.1.5 动量分布几率

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2.1.5 动量分布几率在线视频

2.1.5 动量分布几率

下一节:2.1.6 不确定关系

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2.1.5 动量分布几率课程教案、知识点、字幕

作为态叠加原理的一个应用

我们来考虑

动量分布几率的问题

按照德布罗意假说

如果一个自由粒子

以动量 p 和能量 E 运动的话

它的状态用平面波来描写

这里的因子就是指数上

-i(E t-p·r)/hbar

如果我们先不考虑

这里面的时间因子

只把它的空间部分提取出来

那么是这样的一个表达式

作为空间函数

就是e指数上

i p·r/hbar

前面这个因子的作用

在于把几率归一

这一点我们以后就会看清

那么根据叠加原理

任何波函数都可以写成

这样的波函数的线性组合

由于我现在的 p 可以连续变化

所以说

求和变成求积分

就是把 p 作为一个变量

不同的 p 的成分

用前面的这个函数 Φ(p,t)

作为它的系数

再对所有的 p 的可能值做积分

这里把动量空间的积分元

就是dp_x dp_y dp_z

简单地记为 d³p

这就是叠加原理的一个

具体体现

也就是说

任何波函数都可以写成

各种不同动量的

平面波的一个叠加

刚才我们写下的是用 Φ(p,t)

来表达 Ψ(r,t) 的式子

也可以反过来问

如何由 Ψ(r,t)

来决定 Φ(p,t) 呢

这就是上面的变换的反变换

这个式子是这个样子的

这时候我们要注意

第一

这里的指数因子

多了一个负号

尤其重要的是

刚才的积分是对 p 的积分

而这里的积分是对 r 的积分

结果出来的是 p 的函数

事实上这样的一个变换

在数学上早已有它的原型

那就是

数学上的傅立叶变换

只不过在数学上

提出傅立叶变换的时候

最早是把和时间有关的信号

变成和频率有关的信号

我们发现

这里的 Ψ(r,t)

和 Φ(p,t)

可以唯一地互相求出

这意味着它们

包含了同样多的信息

既然 Ψ(r,t)

描写了体系的状态

因此 Φ(p,t)

也一样

完全描写了体系的状态

那么 Φ(p,t) 的

物理意义是什么呢

它的意义就是

动量几率振幅

也就是说它的模平方

代表了动量几率密度

就是下边这个等式 Φ(p,t) 的模平方

乘以动量空间的体积元

也就是 dp_x*dp_y*dp_z

就等于在动量空间中的

点 p 附近的

这里体积元里面

发现粒子的几率

刚才我们写的是

三维空间的情形

如果是一维情形

公式就变得比较简单

从 Φ(p,t)

决定 Ψ(x,t) 的积分

只不过把前面的积分

这里面只有 p 和 x 的乘积

这个系数没有那个三次方

它的反变换也做相应的改变

这个式子在分析

一维粒子的运动的时候

有很多应用

我们前面已经指出过 Ψ(r)

模平方

在坐标空间中的积分

表达了粒子

在坐标空间中的总几率

现在我们又定义了粒子

在动量空间中的几率密度

因此也可以求出

粒子在动量空间中的总几率

那么

这两个总几率是一样的吗

在数学上可以证明这个等式

这表明粒子

在坐标空间中的总几率

就等于它在

动量空间中的总几率

所以

如果 Ψ(r) 是归一的

那么 Φ(p) 也自然而然

是归一的

这里要强调一点

通常在谈到波函数的

统计解释的时候

最经常想到的就是 Ψ

的模平方

代表粒子的空间几率密度

但是准确地说

只说这一句话

并没有完全地表达了

波函数的统计解释

刚才我们还定义了 Φ

的模平方

代表粒子的动量几率密度

这句话也应该包括在

波函数的统计诠释当中

以后我们还会讲到

用 Ψ 表达任何力学量的

测量几率的原理和方法

把所有这些陈述加在一起

才是波函数的

统计诠释的

完整的含义

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

2.1.5 动量分布几率笔记与讨论

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