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下一节:*5.1.4 维里定理

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*5.1.3 能级简并与守恒量课程教案、知识点、字幕

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是非必修内容

我们来讲一讲

能级的简并与

守恒量之间的关系

这里有一个定理

假若系统有两个

彼此不对易的守恒量

比如记作 F̂ 和 Ĝ

也就是说一方面

F̂ 和 Ĥ 的对易括号

以及 Ĝ 和 Ĥ 的对易括号

都等于零

但是另一方面 F̂ 和 Ĝ 的

对易括号却不等于零

那么这个系统的能级

一般地说是有简并的

下面我们就来

证明一下这个定理

第一步考虑

F̂ 和 Ĥ 的对易括号

等于零的这个条件

我们知道

在这个时候 F̂ 和 Ĥ

可以有同时本征函数

我们就把这个同时本征函数

记作 ψ

也就是说有这样的两个式子

同时成立

一个是 Ĥ 作用于ψ

等于常数 E 乘以 ψ

而且 F̂ 作用于ψ

等于一个常数 f 乘以 ψ

然后我们再考虑

Ĝ 和 Ĥ 是对易的

那么我们来考虑

Ĥ 作用于

Ĝψ 的这个结果

实际上它就等于

Ĥ 乘以 Ĝψ

而 Ĥ 和 Ĝ 是对易的

所以它也就等于

Ĝ 乘以 Ĥψ

而 Ĥ 作用于 ψ

就等于常数能量 E 乘以 ψ

而既然 E 是常数

它就可以提到

Ĝ 作用于 ψ 的前面去

于是我们现在从

这一串等式的最左方

看到最右方

就发觉 Ĝψ 也是 Ĥ 的本征态

而且本征值也是 E

所以我们就发觉

通过 Ĝ 我们又可以得到一个

新的能量本征态

但是问题是

这个 Ĝψ

和 ψ 是同一个态吗

由于我们还有另外一个关系

那就是 F̂ 和 Ĝ 是不对易的

我们来考虑 F̂ 作用于

Ĝψ 的结果

它也就是 F̂ 乘以 Ĝψ

但是注意到 F̂ 和 Ĝ 并不对易

所以说它不等于

Ĝ 乘以 F̂ψ

后面就可以利用 ψ

是 F̂ 的本征态

因而它就等于

f 乘以 ψ 再被 Ĝ 所作用

而 f 是常数

可以提到

Ĝψ 之后的

结果的前面去

于是我们就发觉

F̂ 作用于 Ĝψ

一般情况下

并不等于一个常数乘以 Ĝψ

这就意味着

Ĝψ 不是 F̂ 的本征态

也就是说

Ĝψ这个态

是不同于 ψ 这个态的

因此 Ĥψ

等于 E 乘以 ψ 的这个方程

除去有 ψ 这个解而外

还会有 Ĝψ 的这个解

所以

这个本征方程是有简并的

但是这是一般的情形

有一些特殊的情形

不满足这个结果

这里我们不再作

进一步的解释

这个定理还有一个推论

那就是如果 F̂ 是一个守恒量

也就是说

F̂ 和 Ĥ 是可以对易的

而我们有一个 Ĥ 的本征态

把它记作 ψ_E

这个 E 代表

这个本征态的能量值

假设这个能量本征态

是不简并的

那么同样的这个态

也一定是 F̂ 的本征态

这个证明

我们不在这里详细地给出

但是事实上这件事情

我们已经在一维问题当中

看到了一个例子

我们曾经指出

如果在一维运动的情况下

势能函数是对称函数

也就是说

V(x) 等于 V(-x)

同时

我们考虑一维的束缚定态

那么我们曾经证明

这种一维束缚定态

也一定是宇称的本征态

也就是说 ψ(x) 和 ψ(-x)

彼此之间要么相等

要么差一个负号

这个结果事实上

是这个定理的一个特例

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序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

*5.1.3 能级简并与守恒量笔记与讨论

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