3.2.2 对称有限深方势阱在线视频

下面一个问题

我们再考虑一下

一个有限深的方势阱

就是这样的一个图像

在x小于a

大于负a之间

它仍然是零

然而 在此之外

它是一个有限的值

我们把它记作V_0

对于束缚态的情形

E要小于V0

但是仍然大于零

所以

我们应该在

不同的坐标区间

写出不同的方程

在阱内也就是说

x从负a到正a之间

方程仍然和

前一个问题相同

但是在阱外

也就是x小于负a

或者x大于a的时候

就是另外一个方程

它也是一个常系数

二阶常微分方程

和前面的方程的

最大区别是

这里的系数是一个负的

那么我们知道

后边这个方程的一般解

是实指数函数

它的线性无关的两个解是

e指数上正的系数乘以x

和e指数上

负的系数乘以x

然后再做线性组合

这里的β就是

方程中出现的那个系数

这里就要注意

我们对波函数

有一个有限性的要求

如果考虑

x小于负a的这个区间的话

x是可以趋于负无穷的

那么在这个时候

这个函数

就会趋于正无穷

是应该舍去的

完全类似的

对于x大于a的那个区间

应该舍去

正系数的指数函数

这样一来

我们的三段不同区间的

波函数

就分别有三个不同的形式

最左边

是一个系数为正的一个

指数函数

中间是三角函数的线性组合

最右边是系数为负的

一个指数函数

现在我们应该完整的考虑

波函数的连续性

那就是

它应该

点点波函数本身连续

波函数的一阶导数也连续

这种连续的要求

我们就把它称之为衔接

考虑到我们现在有两个

边界点

是x等于正a和负a

似乎必须写出4个方程

才能完整的

表达这个衔接的要求

但是我们前边已经讲过了

宇称定理

现在这个势能函数

是对称的

所有的态

都一定有确定的宇称

所以

我们可以有更简单的解法

那就是

分别考虑偶宇称解

和奇宇称解

对于偶宇称解

我们发觉

前面所写的

三段波函数里边的

ABCD那四个系数

应该满足

B等于零C等于D

这样的要求

而且

街接条件

也可以只在一个地方

写下来

另外的一个地方

自动的得到满足

对于街接条件的写法

在目前的情况下

可以把它换成为

ln(ψ)的导数是连续的

因为

这个连续性

其实就等价于ψ和ψ

导数的连续性

而它做起来更加简单

这就是

从阱内来看的

波函数的ln(ψ)导数的值

和在阱外看起来的

波函数的ln导数的值

当它们是相等的

就可以得到一个方程

这个方程是

这样的一个方程

就是k乘以tan(ka)

等于β

其中k和β是

用能量

以及势能最高点值

所表达出来的两个参数

这个方程

叫做一个超越方程

因为

一般而言

tan(x)是一个超越数

而由于k和β

都依赖于E

所以说

实际上

这就是一个能量E

所满足的方程

我们把它解出来

就可以得到能量的值

另外一种情形就是

奇宇称的情形

这个时候应该让

A等于零

换句话说

中间的那个波函数

只有sin(kx)的部分

而且让C等于负D

那么

得到的是另外一个方程

就是kcot(ka)等于负的β

k和β的定义

和刚才是一样的

这个方程

如果要得到它的

严格的解

需要用数值计算的方法

但是为了让它

有一个直观的理解

我们也可以采用图解法

首先我们把有关的参数

做一下无量纲化

那就是

把k的a乘起来

得到一个新的变量是ξ

它是无量纲的

β和a乘起来

这个新的变量记作η

它也是无量纲的

由于现在我们

只考虑所有的这些参数

都大于零的情形

所以说

这两个变量的变动区间

都是在第一相限

然后我们就可以把

刚才所写下来的

偶宇称解和奇宇称解

满足的那个方程

分别的写为η

和ξ之间的关系

对于偶宇称解是η

等于ξ乘以tanξ

对于奇宇称解是η

等于负的ξcotξ

除此而外

我们发觉

由于我的k和β

都是用同样的那些参数

表达出来的

所以说事实上

它们不是互相独立的

而是要满足这个关系

就是ξ的平方

加上η的平方

等于用模型参数

所决定的一个

确定的值

大家很容易发觉

这两个叫做

标准函数曲线

而这个方程

代表的是一个圆

由于现在我们只考虑

第一相限

所以说

它描出来的是

四分之一个圆

现在我们就把

这两个图

分别的画出来

这是偶宇称解的情形

这条曲线和这条曲线是η

等于ξ乘以tanξ

这些就是那四分之一个圆

只不过用不同的模型参数

代进去了

所以说它们表现为

不同的半径

我们可以看一看

当我的模型参数

取在某一个值

使得它的半径

为这么大的时候

这四分之一个圆

和这条曲线有一个交点

在这里

但是和其它的分支的曲线

就没有交点了

如果我的模型参数

使得这个圆的半径

大到这种程度的话

那么

这个四分之一个圆

就和这一族曲线的这一支

在这个地方有一个交点

而和这一支

又在这个地方

有一个交点

它就和这一族曲线

有了两个交点

奇宇称的情形

第一步先看到

负ξ乘以cotξ的曲线

变到了这个位置

这里仍然画的是

不同的模型参数给出的

不同半径的圆

那么

我们仍然看

这个圆的半径

到达4的这个情形

那么我们就发觉

它还和

这一族曲线里的这一支

在这里

有了一个交点

用这样的方法

我们就知道

对于一套给定的模型参数

也就是给定的圆的半径

它就会和这两族曲线

有一系列的交点

如果我们把这些交点的ξ

的值

记作ξ_1ξ_2等等等等

1　2就是从小到大的

这个交点的个数的话

那么

能级就用这些ξ值

来表达

只不过是这些ξ值的平方

前面乘一个系数

hbar平方乘以2ma平方

根据上面的图像分析

我们可以对这个问题的解

有些很重要的认识

第一点

关于能级的宇称

我们的第一张图显示的是

偶宇称的情形

那么

你就发现

它可以给出

最低的能级

所以最低能级

一定是偶宇称

再高一个的能级

要转到了

奇宇称的那张图

所以说

第一激发是奇宇称

再往高的能级找

又要回到偶宇称那张图

所以说

能级的宇称排列

是偶奇相间

最低的那个能级

是偶宇称的

第二

我们发觉

这些交点的ξ的值

从小到大去排列的话

ξ_1一定在

零和二分之π之间

ξ_2一定在

二分之π到π之间

这是因为

那两族标准的函数曲线

在横轴上的起点

分别就是

二分之π π 　

二分之三π

2π等等

而我们知道

如果

ξ_1正好等于二分之π的话

它给出来的恰好就是

无限深势阱的基态能量

完全类似的

如果ξ2正好等于π的话

它给出来的是

无限深势阱的

第一基发态的能量

所以说

在有限深势阱的情况下

它的能级

都要比无限深势阱的

相应的能级降低一点

如果我们让V_0

趋于无穷

很容易发觉

这个时候那个圆的半径

就是无穷大

换句话说

这个圆和那些曲线的交点

恰好位于

这些曲线的渐近线上

也就是说

ξ_1 ξ_2等等的值

分别的向

它们的极限值靠拢

因此

有限深势阱的能级

也就趋近于

无限深势阱的能级

当然这时候的波函数

也就分别趋近于

无限深势阱的波函数

第三点我们发觉一个

这样的一个特点

那就是

哪怕你这个势阱

是很浅的

或者是很窄的

也就是说

A很小V_0很小

即使如此

它仍然对应着一个

有限大小的圆半径

而这个圆一定和

那个曲线的第一支

有一个交点

换句话说

至少会存在

一个束缚态

这个特点

是用一维方势阱的例子

分析出来的

即使不是方势阱

只要是一维运动

这个结论

仍然能够成立

但是

对于高维空间的情形

却有不同

所以这个结论

只对于一维空间适用

第四点

只要是势阱的参数是给定的

粒子的质量也是给定的

那么能够出现的

交点的数目

事实上是有限的

具体的作图可以知道

这些交点的个数

也就是

处于束缚态的

能级的个数

是比这个数值

大于或等于它

而最接近它的

那个正整数

最后谈到

波函数的节点问题

我们发觉

基态波函数没有节点

能级每向上升高一级

波函数的节点

就增加一个