3.3.1 函数的定义和主要性质在线视频

这一节我们来介绍δ

函数势阱

δ函数

是一个非常奇异的函数

首先

我们来介绍一下它的定义

和主要的性质

这个函数的提出

其实有非常物理的考虑

我们来考虑一些电荷

连续的分布在一条直线上

那么

就可以用

线电荷密度ρ(x)

来描写这个分布

取一个小的空间间隔Δx

假设其中有Δq

这么多的电荷

那么Δ

q除以Δx

在Δx趋于零的极限

就是线电荷密度ρ(x)

所以

这条直线上的总电荷

大Q就是

ρ(x)对dx的积分

但是

假如我们这里有一个

点电荷大Q

处在x等于a的这一点

又如何来理解

它的电荷密度的值呢

那么很显然

如果你所取的间隔

不包含量这个点电荷

那么ρ

就等于零

而如果这个小间隔

包含了这个点电荷Q

ρ就会变得无穷大

这当然很难用通常的

连续函数来描写

于是狄拉克就有个建议

我们这样来定义这个ρ(x)

它的目的是表明两件事情

第一

这个点电荷处在什么位置

第二

这个点电荷的电量有多大

只有把这两个因素表达出来

这样的一个电荷分布

已经就清楚了

于是

狄拉克就引用了

这样一个函数

命名为δ函数

它前面的系数Q

就是这个点电荷的电量

δ函数里边的自变量

是x-a

这个a这一点

就表明

点电荷所在的位置

如果把它当成一个函数

来理解的话

我们可以这样讲δ

括号x-a它的值

当x不等于a的时候是零

而x等于a的时候

是无穷大

另外

假如我们把这个函数

在整个实轴上进行积分

它给出的值是1

当然

无穷大本身并不是一个数

在这个意义上δ

函数并不能按照通常的

函数的定义来理解

我们把它

称之为一种广义函数

而且事实上

这里的积分

也不是普通的积分

而是一种特别的积分

从这个角度来理解的话

δ函数似乎非常奇怪

但是

在我们以后的应用当中

我们发觉

其实δ函数

可以看作是一些

含有参数的

连续函数的极限情形

比如说这样一个例子

首先我们定义一个

δ(x, α)的这样一个函数

这里x是变量α

是参数

它是系数是根号

π分之一乘以α

函数的部分是e

指数上负的α平方x平方

现在我们考虑

让这个参数α

趋近于正无穷的时候

这个函数

有些什么样的表现

那么首先

当α趋于正无穷的时候

我们就发觉

只要x不等于零

那么

这个极限就是零

而如果x等于零

这个极限是无穷大

然后

我们来做

这个函数的积分

它正好是1

所以

我们就可以这样说

这个函数

在参数α

趋近于正无穷的

极限之下

给出的就是δ函数

类似于这样的

函数极限称为δ函数的

还有下面的这样一些例子

这些例子

都将会在我们以后的

课程当中分别的用到

在数学上

我们可以有一个

更准确的说法

来表达δ函数

那就是

假设有一个函数f(x)

在整个实轴上是连续的

那么

这样的一个积分

就是f(x)乘以δ(x-a)

对dx积分

它的结果是f(a)

也就是f(x)

在a那一点的值

这就是说

δ函数事实上

是一种积分核

它的作用

就是把一个连续函数

在x等于a的那一点的值

提取出来

下面我们介绍

和δ函数有关的一些公式

第一

δ(x)可以看作是

单位阶跃函数的一个导数

所谓单位阶跃函数ε(x)

当x小于零的时候

它是零

x大于零的时候它是1

当然

这里边所谓的导数

也是广义的

第二

有的时候我们需要对

δ(x)函数的

自变量进行一定的变换

最简单的变换

是这个自变量

乘以一个常数

那么

结果仍然是δ函数

但是前面乘了一个系数

注意这里边的常数λ

在右方是要取绝对值

并且取它的倒数

由此我们可以知道

δ函数是一个偶函数

那是因为

把x换成负x

δ(x)是不变的

更一般的这种

自变量代换的情形

是下边的这个公式

那就是

把自变量x

换成x的某个函数

那么

结果是一系列的δ

函数的组合

这个公式有个前提

那就是

方程f(x)等于零

只有一系列的单实根

也就是说

不考虑有重根的情形

第三个

δ(x)也可以求导

我们把它记成δ''

那么δ''

也是一个积分核

它的作用

是把连续可微函数f(x)的

一阶导数

在x等于a的那一点的值

提取出来

并且加一个负号

更一般的情形是

δ(x)的n阶导数

那么它就会提取出

f(x) 的n阶导数

在a的那一点的值

同时

前面加一个系数

是负1的n次方

第四个性质

是这样的一个积分

也给出了δ函数

这个积分的被积函数是

e指数上ikx

对x的全实轴积分

结果应该是一个

k的函数

那么

它正好是k的δ函数

前边再乘一个系数2π

它实际上可以是这样来的

这个积分

因为它是从

负无穷到正无穷的一个

旁义积分

应该理解为

有限区间上的积分

在积分限趋于无穷时的

一个极限

所以第一步

我们把它换写成为一个极限

而从负m到正m

e指数上ikx对dx的积分

是可以解析的做出来的

它就是SinkM除以k

因此

我们应当

把这样的一个比值

取m趋近于无穷时候的极限

这个极限

我们前面已经给出了

它就是k的δ函数