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2.2.1 薛定谔方程的引入在线视频

2.2.1 薛定谔方程的引入

下一节:2.2.2 几率守恒定律

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2.2.1 薛定谔方程的引入课程教案、知识点、字幕

现在我们开始讲2.2节

就是薛定谔方程

也就是

波函数应该满足的方程

这个方程就是量子力学的

基本定律

由于波函数是

坐标和时间的函数

所以

这个方程应该是

波函数所满足的偏微分方程

那么

如何引入这个方程呢

以下两个考虑

应该是一个启发

第一个考虑

这个方程对于波函数

应该是线性的

这意思就是

假如ψ_1和ψ_2是方程的解

那么

c_1ψ_1+c_2ψ_2也是方程的解

这里c_1c_2是复的常数

之所以提出这个要求

是因为

波函数满足叠加原理

另外一方面的要求

可以这样来考虑

波函数会和一些参数有关

这些参数有些属于粒子的

内在属性参数

比如说

质量电荷自旋

有些属于状态参数

比如能量动量角动量

那么

当我们引入方程的时候

应该要求这个方程的解

给出确定的粒子的

各种可能状态

所以说

在方程里出现的参数

可以包含内在属性参数

也就是质量电荷自旋

不应该包含状态参数

也就是

能量动量角动量

那么更具体的说

这个方程是什么样子的呢

我们现在已经知道一个

现实的波函数

那就是德布罗意波

德布罗意波是这样的一个

复的指数函数

它和能量动量有关

作为波函数的参数

现在我们就对这个函数

作微分对时间的偏微分

前面再乘上一个ihbar正好得到

能量E是一个常数乘以ψ

对空间的偏微分

由于现在是在三维空间里边

应该用这个

矢量微分算符倒三角

前面再乘以负ihbar

我们发现

它正好是动量p乘以波函数

如果把这个负ihbar倒三角

这个算符作用两次

它出现的应该是

负hbar平方

拉普拉斯算符

作用于德布罗意波

出现的是p的平方

再乘以同样的波函数

那么每一个方程不能够作为

波函数应该满足的基本方程

因为这里出现了状态参数

为了把这些状态参数

彼此消去

我们可以利用

能量和动量之间的关系

那就是E等于

p平方除以2m

这样一来

我们把这两个方程的

右方的E和p平方

用这个关系连起来

它的左方也就成为相等的了

因此得到的是

ihbarψ对t的偏导数

等于负的hbar平方除以2m

用拉普拉斯算符

作用于ψ

那么这个方程

就满足上面的要求了

因为

它对于ψ是线性方程

而且只包含粒子的

内在属性参数

而能量和动量这样的参数

不出现在方程里

对于这个方程的出现

我们可以从另外一个角度

作一个理解

那就是

原来我们有一个经典关系

是E和p之间的关系

我们在那个经典的关系里面

用ihbar对t偏导去代替E

负ihbar倒三角算符去代替p

并且把这样的算符

都作用于波函数ψ

就得到了刚才那个方程

那么这个方程的解

是不是只有德布罗意波

才能满足呢

其实不是

很容易验证

我们把德布罗意波

做线性叠加

这部分是德布罗意波

再乘上和动量p有关的

一个函数

再对p进行积分

当然这里要注意

E和p之间要满足这个关系

很容易验证

由于

刚才那个方程是线性方程

所以

这样的线性叠加

所构成的波函数

都能够满足上面那个方程

再进一步

我们还可以推广

假如这个粒子不是自由粒子

而是在势场V(r)里面运动

那么

它的能量的表达式

就应该变成了动能加势能

所以

按照刚才的那个形式

我们可以推想

它的波函数

应该满足这样的方程

和刚才的区别仅仅是

在这项的之外又加上了

一个势能项

但是要注意

所有的这些都应该是作用于

波函数之后相等的

这个方程就是单粒子的

薛定谔方程

就是薛定谔在1926年

引入的方程

刚才我们通过一定的步骤

引入了薛定谔方程

但是

不能认为这叫做

薛定谔方程的证明

薛定谔方程

是量子力学的基本定律

在本质上

它是一个假定或者是公理

也就是说

它的正确性要靠实验来检验

而不是从其它的公理

来做推导

这一点

应该有一个正确的理解

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

2.2.1 薛定谔方程的引入笔记与讨论

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