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4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

下一节:*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

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4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化课程教案、知识点、字幕

这一节我们讲解

动量本征函数的归一化问题

我们首先先讲解

动量本征函数

在无穷空间中的归一化问题

然后

我们再讲解

动量的本征函数

在有限空间中的归一化问题

那么下面就是

动量的本征方程

它是动量算符

作用在动量的本征函数上

等于动量的本征值

乘上动量的本征函数

那么动量算符

就像大家早已知道的那样

等于 -iℏ∇

由于动量算符是厄密算符

因此

动量的本征值是实数

也就是说

p 的三个分量都是实数

那么这个微分方程

是容易解得的

那么它的解

是这样子的

是一个复的常数

乘以上一个 e 指数

那么这个指数上呢是 i

动量和坐标的标积

再除上 ℏ

那么这个解我们发现

它是彼此对易的

三个算符 p̂_x, p̂_y, p̂_z 的

去除简并后的

同时的本征函数

那么对于一个

在三维空间中

自由运动的

没有自旋的粒子

这样一个量子状态

它的自由度和经典自由度

是一样的，是 3 个

那么因此

动量算符的三个分量

即 p̂_x, p̂_y, p̂_z

就构成了该系统的

完备力学量集

如果动量的本征函数集

是正交归一的

那么动量本征函数集

就构成了描述该系统的

量子状态的完备基底

那么从另一方面说

我们从求解

动量本征函数的过程

可以看到

动量的本征值是连续的

如果本征值谱是连续谱

那么这样的算符的本征函数

通常是不可以归一的

那么具体到我们的例子

动量来说

我们可以看到

动量的本征函数的模的平方

就是这个复常数 C 模的平方

这是因为 p 是一个实数

那么波函数模的平方

也就是粒子的空间几率密度

也就是说

对于一个有确定动量的粒子

它在空间的

任何一个位置出现的

几率密度都是相同的

那么因此在

无穷空间中的积分

对这个几率密度的积分

是发散的

因此

动量的本征函数

是不可能有限地归一

那么这也是

不确定关系的

一个具体的体现

虽然动量的波函数

不可能有限的归一

我们仍然可以按照

δ 函数归一

那么下面的这个表达式

就是 δ 函数的正交归一

它是动量的

两个波函数的内积

等于一个 δ 函数

这个 δ 函数是 Dirac δ 函数

大家注意到

这是一个三维的函数

那么如果将刚才我们得到的

动量的本征函数代入到

这个 δ 函数归一的表达式中

我们会发现

左边就等于这个常数

复常数模的平方乘上

这样一个积分

那么这个积分

就是一个 e 指数

指数上面是 i(p - p’)

和坐标的标积除上 ℏ

在全空间进行积分

那么这个积分

从数学上我们是清楚的

它等于 (2πℏ)³ 乘上一个

三维的 Dirac δ 函数

因此

刚才正交归一的

表达式的左边

就应该等于 C 的模的平方

乘上 (2πℏ)³

再乘上这个 Dirac δ函数

等于右边的 Dirac δ函数

那么因此

C 的模的平方

乘上这个系数 (2πℏ)³

应该等于 1

那么也就说

C 的模的平方

等于 (2πℏ)³ 的倒数

那么在这里我们可以取

C 是一个实数

等于 1 除上根号下

(2πℏ)³

在这里我们忽略了

C 的一个相位

也就是一般来讲

C 还可以是这个常数

乘上一个 e 指数

指数上是 iδ

δ 是一个相位

那么这样的选取

也可以满足

正交归一的表达式

但是在这里呢

我们取 C 为一个实数

因此动量的本征函数

就可以表示为

1 除上根号下 (2πℏ)³

再乘上一个 e 指数

那么指数上是 i

动量和坐标的标积除上 ℏ

在这里

我们不得不要问一个问题

我们为什么要按照 δ 函数

对动量的本征函数进行

正交归一呢

那么用 δ 函数

进行正交归一的合理性

就取决于

动量本征函数系

是否能够构成

描述一个在三维空间中

自由运动的无自旋的粒子的

量子状态的完备基底

如果答案是肯定的

那么任何一个描述

在三维空间中自由运动的

无自旋粒子的量子状态的波函数

都可以按照

动量本征函数进行展开

展开项的系数的模的平方

就是测量动量的几率

因此

δ 归一化的动量本征函数

主要是用于计算

粒子的动量测量几率

那么我现在回答

前面的那个问题

我们以一维空间的情形为例

我们可以看到

任何一个波函数 ψ(x,t)

可以对动量本征函数

进行展开

这实际上

就是一个 Fourier 变换

是 Ψ(x,t) 和 Φ(p,t)之间的

转换

动量本征函数前面的系数

那么可以按照 Fourier 变换的

反变换得到

那么如刚才我们所说的那样

这个系数模的平方

就给出了测量动量的

几率密度

我们也可以证明

如果波函数 Ψ(x,t)

满足下面的薛定谔方程的话

那么 Φ(p,t)

就满足这样子的一个方程

那么这个方程也称为

动量空间中的薛定谔方程

其中 p 就是动量算符

在动量空间中的表示

就类似于坐标算符

在坐标空间中的表示一样

那么坐标算符

在动量空间中的表示

是什么呢

它就是 iℏ 对动量进行偏导

按照 δ 函数归一化的方法

是可以用于

任何有连续本征值谱的

本征函数系

比如

对于坐标算符 x

这里我们只讨论一维的情况

它的本征函数的正交归一性

就可以表达为

属于本征值 x₁ 的本征函数和

属于本征值 x₂ 的本征函数

之间的内积等于

Dirac δ 函数

δ(x₁ – x₂)

那么我们可以容易地发现

属于本征值 x₁ 的本征函数

就等于一个Dirac δ 函数

δ(x - x₁)

它就是在坐标表象中的

坐标本征函数

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化笔记与讨论

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