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4.1.4算符的对易关系在线视频

4.1.4算符的对易关系

下一节:4.2.1 算符的本证方程

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4.1.4算符的对易关系课程教案、知识点、字幕

对于算符而言

一个很重要的特点是

它们的乘法一般是

不满足交换律的

或者说乘法是不可交换的

这样一来

为了表达两个算符的

这样的关系

我们就定义一个

这样的表达式

它记作 [F̂, Ĝ]

其实就等于

F̂Ĝ - ĜF̂

这个表达式有个名字

叫做对易括号或者是

对易子

所以说两个算符

如果它们的乘积

是可以交换顺序的

也就是说

F̂Ĝ 等于

ĜF̂ 的话

那么

这个对易括号就是零

这个时候

我们就称 F̂ 和 Ĝ 是对易的

否则的话

就称为它们是不对易的

对易也就是可以交换

由于我们以后要经常用到

各种不同算符的对易括号

所以这里

列举一下对易括号的

一些基本的性质

第一条

对易括号是交换反对称的

那就是

[Â, B̂]

等于 -[B̂, Â]

这一点从对易括号的定义

马上就可以知道

第二条

对易括号是一个线性的运算

意思是说

把对易括号里边的

某一个算符换成算符的和

那么

它的对易括号

也就是两个对易括号之和

这个加法

可以放在左边的算符

也可以放在右边的算符

这个规则都是成立的

而且如果用常数乘以算符

那么

其实也就是对易括号之后

乘以这个常数

无论这个常数

出现在左边

还是出现在右边

第三条

我们有的时候

需要去先做算符的乘积

然后再做对易括号

我们把它称之为

算符乘积对易括号的展开

这个规则是这个样子的

假设先用 ÂB̂

然后再和 Ĉ 做对易括号

那么它也出现两项

一项把 Â 提到对易括号之外

乘以 [B̂, Ĉ]

而另外一项

是把 B̂ 提到对易括号之外

乘以 [Â, Ĉ]

这里一定要注意

左边和右边的

Â 和 B̂ 的左右顺序

是不可以颠倒的

也就是

把 Â 提到对易括号之外

一定向左移动

而把 B̂ 提到对易括号之外

一定向右移动

类似地，也可以让

对易括号里边的右边的算符

是一个乘积

那么也是有两项之和

其中一定要把

原来在左边的那个算符

向左移动

原来在右边的那个算符

向右移动

由于这样的

乘积对易括号的展开

以后会经常地要用到

所以这里

特别地要证明一下

比如说这个式子

那就是

Â 和 B̂ 乘积之后

和 Ĉ 取对易括号

那么

先按照对易括号的定义

它应该等于

ÂB̂Ĉ - ĈÂB̂

那就是

这两个算符交换求差

那么下面我们做一个技巧

就是插入一正一负的这两项

因为这两项实际上是

完全相等的

所以说

等于插进去一个零项

它的顺序是

Â 没有动

把 B̂ 和 Ĉ 交换一下

构成的一个这样的项

只不过这是负这是正

那么

然后我们就利用分配律

把它写成为

因为 Â 在这两项当中

是同时在左边的

所以说可以把它写成

Â(B̂Ĉ - ĈB̂)

而后面这一项呢

B̂ 是共同的在最右方

可以把它拿到这个括号之外

括号里边是 ÂĈ - ĈÂ

大家很容易发觉

这个括号里边

就是 B̂ 和 Ĉ 对易括号

而这个括号里边

就是 Â 和 Ĉ 的对易括号

所以说

这样的一个乘积的对易括号

成为这样的两项之和

这是

上页写的那个第一个式子

而第二个式子的证明

也是完全类似的

如果我们来考虑

三个算符的二重对易括号

那么它们存在着一个

恒等的关系

这个关系叫做雅可比恒等式

就是这样的一个式子

我们看这是一个

三项的二重对易括号之和

所谓二重对易括号是

比如说这一项是 B̂ 和 Ĉ

先做对易括号

然后

再拿 Â 和这个对易括号

再做对易括号

那么

这三项的顺序关系

叫做循环置换

比如说从这一项

得到这一项的规则是

把 B̂ 向左移动一个

Ĉ 也向左移动一个

然而把 Â 调到最右方来

所以说这里边的顺序是

B̂, Ĉ, Â

当然,对易括号如何来进行

这个次序这两个是没有动的

而这一项

又再一次是它的

一个循环置换

那么雅可比恒等式告诉我们

这三个二重对易括号之和

是零

其实这个等式很容易证明

那就是

把每一个对易括号

都按照它的定义

写成为算符的乘积之差

那么展开之后你就发觉

它们所有的项都正负对消

最后给出的是零

量子力学的基本算符

是坐标算符和动量算符

所以我们要了解一下

它们之间的对易括号是什么

这就是量子力学的

基本对易括号

首先来看坐标算符

由于现在我们有

x, y, z 三个坐标

在这里用角标 i 来表示它们

那么这就意味着比如说

x̂ 和 ŷ 的对易关系

由于 x̂ 和 ŷ

就是 x, y 坐标自己

这就意味着

它们两个的乘积交换

并且求差

那么由于它们都是实变量

这个乘积是可以交换的

所以这个对易括号是零

这里边是说的动量的

两个不同分量之间的

对易关系

我们知道

动量算符就是偏微分算符

乘以常数

所以说

这样的一个对易括号

意味着两个二重偏微分运算

次序不同

再求它们之间的差

而在多元函数微分学里边

我们知道

二重偏微分运算

是和微分次序无关的

也就是说这个差值是零

因此

动量算符的

两个不同分量之间

是可以对易的

但是

如果我们来考虑

动量算符和坐标算符

之间的乘积的差的话

它们就不再是零了

这个对易括号是

p̂ 的第 i 个分量

和 x̂ 的第 j 个分量

之间的对易括号

是一个常数 -iℏ

乘以这样的一个符号

这个符号有两个下标

它的意义是

当这两个下标相等的时候

这个符号代表 1

当这两个下标不相等的时候

这个符号代表 0

那么具体地说

假如我这里考虑的是

p̂₁ 和 x̂₁ 的交换

那么这就意味着

i 和 j 是相等的

这个对易括号是 -iℏ

而假如我考虑的是

p̂₁ 和 x̂₂ 的对易括号

那么 1 和 2 是不等的

这里是零, 意思就是

p̂₁ 和 x̂₂ 是可对易的

如此等等

这个符号

我们以后是经常用到的

它被称为克罗尼克符号

由于这个关系

具有非常重要的意义

所以我们要来证明一下

第一步

先把这样的一个对易括号

作用于 ψ

然后把对易括号的定义

展开为两项之差

它们分别地去作用于 ψ

那么我们知道

这个乘积算符

作用于 ψ 的意义是

先用这个算符作用于 ψ

这也就是一个简单的乘法

然后再用这个算符

作用于这样的作用的结果

于是这个偏微分应该写在

x 乘以 ψ 之后

再去做偏微分

这项是先做偏微分

再做乘法

所以说

这两顶分别地写成为

这样的不同的两项

然后我们知道

这是两个函数的

乘积的一个微分

它本身又成为两项

第一项

是 ψ 不被微分

这里的 x_j 对 x_i 做微分

那么我们知道

当 j 和 i 相等的时候它是 1

j 和 i 不等的时候它是 0

这正好就是

克罗尼克 δ 符号

另外一项

应该是 ψ 被微分

而 x_j 不被微分

于是就成为这一项

我们马上发现

这样的两项是一正一负

彼此消掉的

于是最后

就只剩下了一项

就是 -iℏ 乘以 δ_ij

然后再乘以 ψ

于是最后我们把

整个这个式子

从这儿走到这儿

由于它们作用于任何的 ψ

这两端都是相等的

因此这个对易括号

也就等于 -iℏδ_ij

有了上面的基本运算法则

我们就不难证明

底下的一些进一步的结果

第一

如果我们有一个任意的

力学量 F̂

那么它总可以表示成为

坐标算符和动量算符的

一个函数

这里我们暂时先考虑

一维情形的话

那么

很多的情况下

我们需要做这个算符 F̂

和坐标算符的对易关系

那么根据上面的运算法则

就很容易证明是这样的

这里是 x̂ 和 F̂ 的对易括号

这有个常数是 iℏ　

乘以这样的一个新的算符

那就是

先在经典力学的意义上

去做 F 这个函数

对于 p_x 这个变量的偏微分

然后再把这个偏微分的

结果函数一起都变成

量子力学的算符

这里之所以会出现一个常数

iℏ

那是因为

比如说

我们去做 x̂ 和 p̂_x 的对易括号

那只不过是把刚才所写下的

p̂_x 和 x̂ 的对易括号

交换一下位置

因此原来是 -iℏ

现在变成了 +iℏ

那么完全类似地

也就很容易证明

这样的一个关系

那就是如果去做

p̂_x 和 F̂ 的对易括号

那么是这个常数是

-iℏ 乘以 F 对 x 的

偏微分的算符

这个式子在我们以后考虑

比如

哈密顿量算符的

不变性的时候

会有很重要的应用

刚才只是用 x 坐标作为例子

那么很容易想到

它们对于 y 坐标和 z 坐标

也是类似的

然后我们考虑

以后也会经常碰到的一个

物理量

那就是粒子的轨道角动量

它的经典力学的定义就是

L = r × p

只要把这里边的经典量

都换成算符

它就变成了量子力学里的

算符的定义

进一步说

p̂ 现在可以理解成为 -iℏ

乘以算符 ∇

如果我们把这里的叉积

再具体地写下来的话

那么大家知道

两个矢量的叉积

仍然是一个矢量

这个叉乘之后的

矢量的三个分量

分别地由原来的

这两个矢量的三个分量

以这种方式来构成

比如说 L̂ 的 x 分量

它的第一项是

ŷ 乘以 p̂_z

然后减去 ẑ 乘以 p̂_y

L̂ 的 y 和 z 分量也是类似的

在这里我们再一次用到了

循环置换的这个规则

比如说

从这个式子到这个式子

那就是在这里

把 y 向左推移一下

把这个 z 也向左推移一下

然而把 x 调到最右方来

所以说

这一项的 x, y, z 的循环置换

就变成了这一项

其它的各项的得出

也是遵循类似的规则

那么

我们以后在分析

粒子的轨道角动量

这个物理量的时候

就要用到

这三个分量算符之间的

对易关系

那么

根据刚才我们给出的

坐标和动量的

基本对易关系

就很容易证明

比如说

L̂_x 和 L̂_y 的对易括号

是 iℏL̂_z

只要把这个式子

进行 x, y, z 的循环置换

就可以得到

下面的这两个式子

在我们以后的分析当中

还会用到角动量的平方

这个意义本身来说

是和在经典力学里的

矢量平方的定义

是一样的

就是所谓的一个

矢量的平方

就是

它的三个分量的平方之和

所以说我们在量子力学里

也就定义 L̂² 这个算符

是三个分量算符的平方

再相加

这里的算符的平方

意味着算符作用两次

那么再利用

上面的这些关系

就很容易证明

L̂² 这个算符

和这三个分量算符

都是对易的

所有的这些关系

在我们以后分析

粒子轨道角动量

这个力学量的性质的时候

将会起到

决定性的作用

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

4.1.4算符的对易关系笔记与讨论

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