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下一节:6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

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*6.2.2球无限深势阱中能级的确定课程教案、知识点、字幕

对于无势场情况下

波函数的这样的一些特征

做了研究之后

我们就可以进一步来回答

球无限深势阱中的能级

是如何确定的

根据波函数应该满足的条件

由于在球外

势能是无穷大

波函数等于零

所以说球内的波函数

必须在球的表面上等于零

也就是说

这个ψ在r等于a的地方

应该是零

而它除去

球谐函数的那一部分之外

是一个球贝赛尔函数

作为一个径向波函数

因此

这个条件也就等于要求

第l阶球贝赛尔函数

当我的小r

取在a这个地方的时候

也就是

它的自变量是ka的时候

应该是等于零的

这一来

我们就可以通过这个要求

决定k的值

再往前

也就决定了能量的值

这样一来

我们就面临

这样一个数学问题

那就是

l阶的球贝赛尔函数

当自变量x

等于什么值的时候

这个函数值是零

这个阶次可以取为

所有的非负整数

而x只考虑它大于零的情形

那么我们就把这个方程的解

按照这样的顺序

来予以标志

那就是

首先它有一个阶次l

因此

这个方程的解应该和l有关

然后我们知道

即使你的l确定

这个方程也不止一个解

于是

我们就把这个方程的解

也就是根

按照从小到大的次序排起来

而按照它的位置

给予一个n的编号

因此

这个n是从1开始

取所有的整数

如果我们得到了

这样的根的数值

那么k的允许值就很显然

是这些方程的根除以a

而相应的粒子的能量就是

ℏ平方这个x_nl的平方除以

2μa平方

当然它和n以及l都有关

一般的说

这样的一个方程

是一个特殊函数方程

是没有解析表达式的

但是l等于零是一个例外

因为当l等于零的时候

这个j₀(x)就是sinx除以x

而让它等于零

也就是sinx等于零

而我们知道

它的解就是n倍的π

这里的n是从1开始的

所有的整数

右下角我们应当记作n₀

因为这个地方是l=0

再往前走

那就是

k等于nπ除以a

而E是等于

ℏ平方n平方π平方除以

2μa平方

对于这个n的表达式

我们看起来非常的熟悉

因为它正是宽度为a的

一维无限深势阱的那个能级

而我们知道

三维问题通过

把它约化为径向问题以后

是和一维问题完全类似的

所以说这个答案

其实并不出人意料

但是当l不等于零的时候

我们就只能利用数值的方法

求出这个根

x右下角nl的值

下面我们用这个表列出了

最初的几个x_nl的值

横行是相同的l

纵行是依次的

从小到大排列的顺序号

由于我这里的x

都以π为单位

所以说

第一行的数值

实际上

是我们前面已经知道了的

因为当l等于零的时候

这个根就是π的整数倍

因此这里就是整数1 2 3 4

而l等于1的时候

相应的每一个的x的值

都比l=0的时候大了一点

l=2又比l=1更大一点

如此等等

当我们有了

这个x的值的时候

它所对应的能量

那就是

把这个表里边的数值平方

再乘以π²ℏ²除以2μa²

因此

我们把球无限深势阱当中的

能级的问题

化为球贝赛尔函数的

根的问题

从这个角度给予了一个

很清楚的回答

还有一个问题需要研究一下

那就是能级的简并度的问题

根据刚才我们列出的那个表

大家可以看到

这个根对于不同的nl

都是不一样的

所以说

能级只有对量子数m

也就是磁量子数的

那个简并

也就是说

E右下角nl的简并度

只依赖于这个l

它是2l+1

但是

如果x是大于大于1的

也就是说这个能级是很高的

那么

球贝赛尔函数

就有一个渐近表达式

因而

这个球贝赛尔函数的

根的方程

也就近似成为

这样的一个方程

而这个方程

大家都很容易知道

它的解

那就是

X要等于n加上二分之一l

再乘以π

这里的n是非负整数

所以

现在的能级的简并度的情形

就变成了

只要n加上二分之l

是相同的话

那么x就都一样

也就是说

E也就变得是一致了

由于这仅仅是一个近似的解

所以说

同样的这个x所对应的E

并不完全相等然而非常靠近

我们把这种情形称之为

近简并

所以球无限深势阱的高能级

会出现近简并

这样的一种特别的情形

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

*6.2.2球无限深势阱中能级的确定笔记与讨论

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