4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数在线视频

接下来我们求解

角动量平方算符的

本征值和本征函数

因为角动量算符

z 分量的本征值是正比于 ℏ

那么

角动量平方算符的本征值

就应该正比于 ℏ²

我们在这里

记为 λℏ²

而且 λ

也应该是个非负的实数

它的本征函数

我们先记为 Y

它是和两个角度有关的

一个是 θ, 一个是 φ

本征方程是下面的一个方程

角动量平方算符作用在

本征函数上等于本征值 λ

乘上 ℏ² 乘上本征函数

我们现在就将

角动量平方算符

在球坐标系中的表达形式

代入到这个本征方程中

我们得到如下的一个方程

我们要求

本征函数同时也是

角动量算符 z 分量的

本征函数

因为角动量算符 z 分量

和角动量平方算符是对易的

它们有共同的本征函数

这样我们就可以将 Y

进行分离变量

那么 Y(θ,φ) 就可以写成

一个只和 θ 相关的函数

P(θ) 乘上 e 指数

就是乘上

角动量算符 z 分量的

本征函数 e^imφ

当然角动量算符 z 分量的

本征函数前面还有个系数

1/√ 2π

我们将这个系数

就划归到 P 这个函数里

我们将

这个分离变量后的函数

代入到本征方程中

我们会发现

这个 e 指数 e^imφ

两边就会消掉

因此我们就得到一个

P(θ) 满足的方程

当然这个方程中

也有量子数 m

下面我们引入一个量

是w, w = cosθ

因为 θ 的取值范围

是从 0 到 π

因此 w 的取值范围

是从 -1 到 +1

这个变换后的方程

是这样一个方程

这个方程称为连带

又称为缔合的勒让德方程

我们看到

当 w = ∓ 1 时

这一项是发散的

w = ∓ 1 是起点

在起点的位置上

要使方程有解

λ 必须有某些特定的值

如何解 λ 的特定的值

将在以后的章节中具体介绍

我们这里只给出答案

我们得到 λ

等于 l(l+1)

l 的取值是可以取

|m|

|m|+1, +2 等等等等

我们这里看到

首先 l 它是一个整数

因为 m 是整数

其次 l 是一个非负的数

因为这里的最小的取值

是 |m|

由于 m 可以取零

因此 l 最小的值是零

所以 l 是一个非负的整数

如果 l 是一个给定的值

那么 m 所能取的最大的值

就应该是 l

它的最小的值是 -l

因此对于给定的值 l

m 的取值范围

是从 -l 到 l 之间的整数

我们把相应的

连带勒让德方程的解记为 P_l^m(w)

因为它与这两个量子数有关

它满足的方程

是这样一个方程

这个方程

就是在刚才的方程中

将 P 换成 P_l^m

将 λ 换成 l(l+1)

如果 m 等于零

那么这时候的解

我们记为 P_l(w)

它满足更简单的一个方程

那么这个方程我们叫做

勒让德方程

它的解

就是 w 的 l 阶多项式

称为勒让德多项式

另外勒让德多项式

也是如下的母函数

按照 x 的幂次展开

中的展开项的系数

头三阶的勒让德多项式

是 P₀(w) = 1，P₁(w) = w，

P₂(w) = (3w² - 1)/2

刚才的解

是连带的勒让德方程中

m 等于零的情形

如果 m 不等于零

那么这时候

连带勒让德方程的解

就称为连带勒让德函数

那么它的具体的形式

是这样的一个形式

对于给定的 l

m 的取值是从

-l 到 l 之间的整数

我们发现

当 m 大于零时

这个 l + m 阶的微分

可以看作是

先对 w 进行 l 阶的微分

然后再进行 m 阶的微分

对 l 阶的微分

再乘上前面的系数

1/2^l

乘上 l 的阶乘

正好是勒让德多项式

因此当 m 大于零时

连带勒让德函数就可以写成

(1-w²)^m/2

乘上勒让德多项式

对 w 的 m 次微分

这是这样的一个形式

例如当 l 等于 1 时

m 可以取 1，0 和 -1

当 m 取 0 的时候

那么我们得到的

就是勒让德多项式

即 P₁(w) 等于 w

当 m = 1 的时候

我们可以利用这样的公式

m 等于1 就是

P₁(w) 对 w 的一次微分

P₁(w) 是 w, 对 w 的

一次微分当然等于 1

因此只有前面这个系数

这个系数当 m = 1 时

就等于根号下 1-w²

那么现在的问题是

当 m 小于 0 时候

比如说 m = -1 的时候

那么这时候

连带勒让德函数

会是什么样的一个形式呢

我们发现

P_l^-m

和 P_l^-m 之间

有这样一个关系

希望同学们能够在下面

自行推导出这样的关系

因此当 m = -1 时候

那么 P₁^-1 就等于 P₁¹

就是 1-w² 开根号

再乘上前面的系数

那么当 m = 1 的时候

(-1)¹ 当然等于 -1

当 m = 1 的时候

l 等于 1

1-1 等于零下面是 2

那就是零的阶乘除上 2 的阶乘

就是 1/2

由于 w = cosθ

因此我们就可以把这些函数

都把它变换为

变量 θ 的表达式

就是这个样子

总结一下

角动量平方算符的

本征函数是正比于

连带勒让德函数乘上

e^imφ

那么其中 l 是非负的整数

对于一个给定的 l

m 的取值范围是从

l 到 -l 之间的所有的整数

前面的系数是归一化因子

归一化之后

我们得到这个因子是

下面这个形式

角动量平方算符的本征函数

Y_lm 也称为球谐函数

l 称为角量子数

m 称为磁量子数

我们现在具体地看一下

角量子数和磁量子数

对于一个给定的角量子数

磁量子数有多种选择

它是从 l 到 -l 之间的

所有的整数

那么由于

角动量平方算符的本征值

只和 l 有关

因此

m 的所有取值所对应的

都是相同的角动量平方算符的本征值

也就是说

角动量平方算符有简并

它的简并度就是 2l+1

当然球谐函数

对于角动量算符的 z 分量

是非简并的

因此球谐函数是正交归一的

在原子物理中

l 等于 0，1，2，3 的状态

分别称为 S，P，D，F 态

l 等于 4，5，6 等等的状态

是按字母表的顺序

依次称为 G，H，I 等等等

量子数 l=0

和 l = 1 的球谐函数

分别是如下的函数

我们也可以将球坐标系

转换成直角坐标系

在直角坐标系中

球谐函数可以表达成

如下的形式

注意这其中的 x，y 和 z

并不是坐标算符

而是 x/r

y/r 和 z/r

也就是单位矢量的三个分量

我们也看到

将 Y_{1,∓ 1} 进行线性组合

也会得到只正比于 x

和只正比于 y 的本征函数

就是这样一个形式

这三个一阶的球谐函数

实际上

就是单位矢量的

三个分量