当前课程知识点：量子力学（上） > 第五章 量子力学中的对称性与守恒量 > 5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性 > 5.3.4交换对称或反对称波函数的构成 泡利不相容原理
下面我们来研究一下
如何构成交换对称的或者
交换反对称的波函数
一般地说
一个全同粒子体系的波函数
是解薛定谔方程得到的
在这个解的过程当中
我们并没有对于交换
这个操作给予注意
所以一开始得到的解
未必就有确定的交换对称
或者反对称性
在这种情况下
我们要对原始的波函数
进行对称化或者反对称化
我们这里只考虑一个
比较简单的情形
那就是体系的总的波函数
是单个粒子的波函数的乘积
这种情形对应着物理的状况
就是粒子之间没有耦合
把它写成具体的表达式
就是 ψ 作为 N 个坐标的函数
它可以写成为
ψ1(q1）乘以
ψ2(q2) 等等
一直乘到 ψN(qN)
一般情形的波函数
可能并不这么简单
所以说这是一种近似情形
称之为独立粒子近似
我们以
两粒子体系作为例子
先考虑一个
没有进行对称化
或者反对称化的波函数
那么它是这个样子的
就是 ψ1(q1) 乘以 ψ2(q2)
这里我们要求 ψ1 和 ψ2
是不同的两个函数
那么
怎么进行它的对称化呢
那就是
先把这个式子
照写一遍
然后在这个表达式里边
把 q1 和q2 交换一下
构成另外一项那就是
ψ1(q2) 乘以 ψ2(q1)
很显然这个时候
你把 q1 和q2交换
结果是
这一项变成了这一项
而原来的
这一项变成了这一项
中间就是加号
可见得它并没有改变
前面的根号二分之一
只是一个归一化因子
那么完全类似地
大家就可以想到
如果要构成
反对称化的波函数的话
无非是把
刚才那个表达式里边的
加号变成减号
这样一来把 q1 和q2 交换
这一项变到了这一项
这一项变到了这一项
中间是减号
整体来说恰好出一个负号
根号二分之一仍然是
归一化因子
这里我们就
应当注意一件事情
对于可区别的粒子
我们可以说
第一个粒子处在状态 ψ1
第二个粒子处在状态 ψ2
而对于不可区别的粒子
不管你的波函数
是对称化的
还是反对称化的
我们只能说这个体系里边
有一个粒子处在状态 ψ1
一个粒子处在状态 ψ2
而无法去区分是第一个
还是第二个粒子
类似的方法也可以推广到
N 个粒子的体系
这里我们特别把
N 个费米子的
反对称化波函数写下来
它是一个这样的表达式
这里有 N 个函数
是 ψ1 等等到 ψN
又有 N 个粒子
因而有 N 个坐标
是从 q1 等等一直到 qN
这个完全反对称化波函数
是一个这样的行列式
它的规则是
第一行的所有的函数都是 ψ1
第二行的所有的函数都是 ψ2
等等
第一列的所有的自变量都是 q1
第二列的所有的自变量都是 q2
等等
这样构成的一个行列式
前面的根号 N 阶乘分之一
仍然是归一化因子
这样的一个行列式
称之为 Slater 行列式
它就是一般的 N 个费米子的
反对称化波函数
从这个表达式
我们很容易看出
这样一件事情
那就是如果 ψ1 到 ψN 当中
有任何两个是相同的函数
我们回过去
看一下这个表达式
比如说 ψ1 和 ψ2 是相同的函数
那么这个行列式
就变成了一行的全部的元素
对应地等于
第二行的全部的元素
而我们知道
对于一个行列式而言
这样的行列式恒等于零
于是我们就得到了
这个波函数
恒等于零的这个结果
在量子力学的意义上
一个恒等于零的波函数
意味着这个态并不存在
所以我们这里
有一个很重要的原理
那就是
不可能有两个
或者更多的费米子处在
完全相同的量子状态里
这个重要的原理
称为泡利不相容原理
大家要注意
这是一个完全的
量子力学的原理
在经典力学里
并不存在对应的概念
当然我们也可以问
如果我们有任意的
N 个全同的玻色子
如何构成它的
对称化的波函数呢
对这个问题的回答
要复杂的多
因为这时候我们必须考虑
有可能在 ψ1 到 ψN 的
这 N 个波函数当中
有那么几个是一样的
因此最后所得到的
完全对称化的波函数
就会不同
对于这个细节
这里不再做更多的解释
刚才我们强调了
波函数的
对称化或者反对称化
是一个纯量子力学的原理
那么现在我们要指出
这种对称化
或者反对称化的性质
事实上是对
系统的物理性质
产生重要的影响的
我们举一个比较简单的
而直观的例子
假设这里的 q
就是粒子的空间坐标 r
并且我们考虑双粒子体系
为了明确
交换对称或者反对称
导致什么结果
我们特殊地把这两个粒子的
位置选作互相重合
我们问一下在这种情况下
粒子出现的几率如何
如果我们用到的是
没有做对称化或者
反对称化的这个函数
那么很显然
根据量子力学的基本原理
这个几率
就是这个波函数的模平方
这里 ψ1 和 ψ2
是不同的两个函数
然而我们把它的坐标
取在了同一点
那么然后我们来看一看
交换对称波函数
那么显然这时候
刚才写下的
那个表达式的两项是相同的
于是它们加起来再求模平方
就变成了这个模平方的两倍
而你要考虑
交换反对称波函数的话
你就发觉这两项
由于中间是求差
其结果就变成了 0
因此这个几率是 0
这样来看
空间波函数对称化以后
使得粒子趋向于互相靠拢
意思就是说
两个粒子处在相同的
位置上的几率变得更大了
而反对称化波函数
使得粒子趋向于互相远离
因为这个时候
两个粒子的位置
互相重合的几率变成零了
值得注意的是
这个现象完全是
统计的规律在起作用
实际上
并不存在粒子之间的
某种实在的相互作用
但是很显然
它们也会导致
物理上的可观察的效应
对于这种效应
我们举两个例子
一个例子是关于玻色子的
也就是交换对称波函数的
这个现象叫做
玻色-爱因斯坦凝聚
我们来考虑一个
全同的玻色子系统
并且考虑
它的温度很接近于绝对零度
那么在这个时候
理论的分析和实验的观察
都告诉我们
这时候会有
大量的宏观数目的粒子
凝聚在系统的基态上
这个现象就称为
玻色-爱因斯坦凝聚
由于有这样的凝聚现象
近代物理学产生了一个
非常前沿而又活跃的
一个研究领域
称为冷原子物理或者说
叫做量子简并气体物理
我们要举的第二个例子是
关于费米子体系的
在天文上我们可以看到
白矮星或者是中子星
在这样的星体里边
由于引力的相互作用
自然地说
它们会产生引力坍缩
那么
白矮星或者中子星
之所以能够维持
它们稳定的确定的体积
一定会有某种力量
和引力坍缩相抗衡
那么理论分析和实验观察
都告诉我们这个时候
在白矮星里边是由于
电子服从泡利不相容原理
而在中子星里边
是由于
中子服从泡利不相容原理
这个原理就导致了
电子系统和中子系统
会产生所谓的费米压强
这个压强就抵抗了万有引力
产生的引力坍缩
而使得星体能够保持平衡
这些都是
由于统计规律引起的物理
被我们观察到的
很明显的例子
泡利不相容原理
还在许多其他的方面
有它的表现
比如说
我们来考虑多电子原子
那么
理论分析和实验都告诉我们
多电子原子里边的电子
构成了一种跳层式的结构
这极大的影响了
原子的化学性质
再比如说
考虑固体中的固有电子
那么分析告诉我们
这些电子将构成能带
而这些能带的
不同的填充情况
决定了这个固体是
绝缘体、导体或者是半导体
在化学里边
当两个原子互相靠近的时候
将有两个电子成为共有电子
它能所形成的
一种特殊的状态
就使得这两个原子
可以互相连接在一起
这就是一类特殊的化学健
叫做共价健等等
还有一些其它方面的现象
在这些现象当中
泡利不相容原理
都起着决定性的作用
总体来我们可以说
我们面对着一个
丰富多彩的自然界
在自然界这个大厦里边
如果做一个比喻的话
费米子是这个大厦的砖块
而玻色子
是这个大厦的粘合剂
它们合在一起
才构建出
如此丰富多彩的宇宙世界
也就是说
在我们的宇宙当中
费米子和玻色子二者
是缺一不可的
-引言
--引言
-1.1 普朗克的光量子假说
-1.2 玻尔的原子结构模型
-1.3 德布罗意的物质波假说
-第一章 量子力学的历史渊源--第1周作业
-2.1波函数
-第二章 波函数与薛定谔方程--第2周作业
-2.2 薛定谔方程
-第二章 波函数与薛定谔方程--第3周作业
-3.1一维运动问题的一般分析
-第三章 一维势场中的粒子--第4周作业
-3.2 方势阱
-3.3 δ函数势阱
-第三章 一维势场中的粒子--第5周作业
-3.4 线性谐振子
-3.5 一维散射问题
-第三章 一维势场中的粒子--第6周作业
-*3.6 δ势的穿透
-*3.7 周期性势场中的能带结构
--第三章 一维势场中的粒子--第7周作业
-4.1 算符及其运算
-第四章 力学量用算符表示--第8周作业
-4.2 厄密算符的主要性质
-第四章 力学量用算符表示--第9周作业
-4.3 动量本征函数的归一化
-4.4 角动量算符的本征值和本征态
-第四章 力学量用算符表示--第10周作业
-5.1 量子力学中的守恒量
-5.2 对称性与守恒量
-第五章 量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业
-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性
-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画
-第五章 量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业
-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质
-*6.2 球无限深势阱
-第六章 中心力场--第13周作业
-6.3 三维各向同性谐振子
-6.4 氢原子和类氢离子
-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程
-*7.2 朗道能级
-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应
