当前课程知识点：量子力学（上） > 第四章力学量用算符表示 > 4.2 厄密算符的主要性质 > 4.2.2 厄密算符的本征值

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4.2.2 厄密算符的本征值在线视频

4.2.2 厄密算符的本征值

下一节:4.2.3 本征函数系的正交性

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4.2.2 厄密算符的本征值课程教案、知识点、字幕

厄密算符的本征值

这里我们要证明的定理是

厄密算符的本征值

都是实数

证明如下

我们对本征方程取共轭

得到下面这个方程

我们看到

方程的左侧

就是上面本征方程的

取共轭的结果

那么方程的右侧

就是上面这个方程的右侧

取共轭的结果

那么它的结果

就是λ的共轭

乘上ψ_λ的共轭

我们如果要证明

厄密算符的本征值都是实数

我们就要证明λ

和λ的共轭是相等的

由于这里

我们涉及的是一个

厄密算符

因此

以下的证明我们就要从

厄密算符的定义入手

由厄密共轭算符

以及厄密算符的定义

我们就得到了

下面的两个等式

那么在第一个等式中

我们看到算符

作用到波函数ψ_λ之后

再乘上ψ_λ的共轭

它对全空间求积分

等于F的厄密共轭算符

及F^dagger

作用在波函数ψ_λ上

然后取共轭

再乘上波函数ψ——λ

然后对全空间求积分

这个等式是由

厄密共轭算符的定义

给出的

因为算符是一个厄密算符

因此F^dagger等于F

这样我们就得到了

第二个等式

如果同学们回想一下

厄密共轭算符的定义

那么我们将看到

原来在F作用下的波函数

以及之后乘上的这个波函数

都是两个任意波函数

那么既然厄密共轭算符

对任意的两个波函数

这个等式都成立

那么

当然也对特殊的波函数成立

这里我们取的特殊的波函数

是F的本征函数ψλ

我们为什么要这么做

这么做的原因

就是我们可以代入

本征方程

以及本征方程的共轭方程

比如我们将本征方程

代入等式的左侧

那么在这个括号中

我们就得到λ

乘上ψ_λ

由于λ是一个数

它可以放到积分号外

那么在积分之内的就是ψ_λ

模的平方

对全空间的求积分

这我们就得到了左式

同理我们也得到了右式

由于这个积分也就是说

对ψ_λ的模的平方

在全空间求积分

不等于零

我们可以设想一下

如果这个积分等于零的话

那么ψ_λ一定是等于零

波函数等于零

在物理上是没有任何意义的

那么在物理上有意义的

是非零的波函数

对于是非零的波函数

它的模的平方

在全空间的积分

一定是不等于零的

因此

要使上式成立

那么我们就得到了λ

等于λ的共轭

也就是

厄密算符的所有本征值

都是实数

这是一个非常重要的性质

这个性质要求量子力学中

所有的物理量

或称可观察量的算符

都是厄密算符

我们下面以动量算符为例

来证明它的厄密性

证明如下

我们从厄密算符的定义出发

如果动量算符是厄密算符

它必须要满足

这样的一个等式

也就是说

动量算符的x分量

作用在波函数φ上

然后再乘上波函数ψ的共轭

对全空间的积分

等于

动量算符的x分量

作用在波函数ψ上

取共轭再乘上波函数φ

对空间的求积分

要证明这个等式成立

我们当然要利用

动量算符的具体的表达形式

那么p_x的具体表达形式

就是负的-ihbar对x求微分

那么就是这样的一个公式

那么接下来

我们要利用分步积分的方法

得到下面的两项

那么第一项就是

负的ihbarψ的星号乘上φ

代入上下限

第二项就是上面的这个积分

将ψ的共轭与φ进行对调

然后取一个负号

我们就得到了这样一项

我们知道任何的波函数

都是归一的

那么这就要求

波函数在无穷远处趋近于零

因此第一项等于零

我们利用

动量算符的具体的形式

我们可以发现

第二项

实际上就是动量算符

作用在波函数ψ上

取共轭再乘上波函数φ

对空间的积分

因此我们就证明了

动量算符的x分量

是厄密算符

用同样的方法

当然我们可以证明

动量算符的其它两个分量

也是厄密算符

也许细心的同学会观察到

在厄密算符的定义中

积分是在全空间的积分

也就是dx dy dz的积分

在这里我们省略了

dy和dz

因为如果我们加上

dy和dz的话

同学们会发现

整个的证明的过程

是不受到影响的

我们不难证明

坐标算符也是厄密算符

另外

在一定的条件下

坐标算符

和动量算符的函数

也是厄密算符

比如

如果F算符和G算符

都是厄密算符

而且它们是对易的

那么F乘上G

和G乘上F这样的算符

都是厄密算符

对于这一结论的证明

我希望同学们

能够自行完成

这个结论有一个重要的推论

那就是角动量算符

也是厄密算符

角动量算符的x分量等于

y算符乘上p_z算符减去

z算符乘上p_y的算符

我们知道

y算符和p_z算符

都是厄密算符

而且y和p_z是对易的

因此y乘上p_z这样的算符

是一个厄密算符

那么同理

z乘上p_y这个算符

也是厄密算符

两个厄密算符的差

当然仍然是厄密算符

用同样的道理

我们可以证明

角动量算符的其它两个分量

也是厄密算符

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

4.2.2 厄密算符的本征值笔记与讨论

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