当前课程知识点：量子力学（上） > 第二章波函数与薛定谔方程 > 2.2 薛定谔方程 > 2.2.2 几率守恒定律

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2.2.2 几率守恒定律在线视频

2.2.2 几率守恒定律

下一节:*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

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2.2.2 几率守恒定律课程教案、知识点、字幕

下面我们要指出

薛定谔方程导致一个

非常重要的守恒定律

这说是几率守恒定律

我们前面已经指出

粒子的空间几率密度

是ψ的模平方

也就是ψ的复共轭乘以ψ

如果我们做几率密度的

对时间的偏微分

那么　应该出两项

其中一项包含Ψ

对t的偏微分

另外一项包含Ψ

的复共轭对t的偏微分

根据薛定谔方程

我们可以写下Ψ

对t的偏微分

原来这个方程的左边

有一个ihbar

我们把它除到右边来

再取这个方程的复共轭

这里要注意势能函数V

是一个实函数所以说

它的复共轭就是它的本身

其它各量当然都要取复共轭

于是我们又得到了Ψ

的复共轭对时间的偏微分

我们把刚才得到的Ψ

和Ψ复共轭对t的偏导数

代入几率密度对t的

偏导数的表达式里

那么

一开始得到的是这个式子

下面我们要对这个式子

进行一个恒等变换

那就是

把这里的二次偏导拆成

两个一次偏导的乘积

这里边有一个技巧

我们可以从

后面的这个式子

推导到前面的这个式子

比如说注意

这项再做一次偏导的时候

应当出两项

一项是它不动

它再做次偏导

正好得的是这一项

它还有另外一项

是它不动

它再做一次偏导

得到的是ψ的梯度点乘ψ

星星的梯度

完全类似的

后面这一项再做一次偏导

除去出现这一项之外

也有一项

那就是ψ

的梯度

乘以Ψ复共轭的梯度

注意这里是个减号

是多余出来的那个两项

恰好互相消掉

只有这两项留下来了

这样一来

我们就出现了一个

这样的矢量

就是把这个拿掉不要

并且前面添一个负号

我引入一个记号叫做J

来记这个表达式

那么

我们就发觉

出现了一个这样的方程

那就是ρ

对t的偏导数

加上j的散度等于零

这个式子表达的

就是一个守恒定律

假如我们

在一个给定的体积上

对这个式子进行积分

左边就是直接的ρ

对t的偏导数的积分

右边一开始

也是这个样子

但是

右边这个表达式

我们可以用高斯定理

把它重新化一下

那就是把体积分变成

包围这个体积的

面上的面积分

S就是V的表面

那么根据高斯定理

这里的

体积分里的J的散度

换到面积分上

就变成了J自己

然后要点乘上

这个矢量的面积元

至于方程的左边

我们发觉

t在这个积分里是一个参数

所以

可以把对t的微分

拿到积分号外边

剩下来的部分

当然就是在体积V里边

发现粒子的总几率

所以

我们对于这样的方程

可以做这样的一个解释

在体积V里发现粒子的

总几率的减少

恰好等于J

穿过包围这个体积的表面

向外的总通量

而这就表明

几率这个量

在这个体积里的减少

正好等于它向外的流出

所以

如果我们把J定义为

几率流密度

这个式子表达的

就是几率的守恒

如果考虑到

波函数要满足归一化

这个要求

薛定谔方程导致几率守恒

还一个很重要的结果

如果ψ(r,t)

是一个一般的函数

那么

我们把它的模平方

在无穷大体积中做积分

将会得到一个

和时间有关的函数

你不能够保证它是常数

也就是说

即使你在t等于零的时候

把波函数做好了归一化

一但时间变化

归一化条件

可能就不再能够满足

但是

如果你拿来的波函数

是满足薛定谔方程的

那么

你可以先在无穷空间里

给它作积分

然后求它对t的导数

根据刚才的方程

它就会化成一个

j点dS在一个

无穷大的曲面上的面积分

我们可以证明

只要左边的这个积分

是收敛的

那么右边的这个积分

一定等于零

这样一来Ψ

的模平方

在无穷大空间里的积分

不再随着时间而变化

这样一来

波函数的归一

只要在t等于零的时候做好

以后在任何时候都满足

也就是说

归一化可以永远被保持

从这里我们可以

对于几率守恒

做一个进一步的理解

其实

它就是粒子数守恒

因为

对于单粒子系统而言

所谓的在全空间中的几率

其实就是粒子数

所以

这个全空间中的积分保持不变

也就意味着粒子数

是一个不变的量

换句话说

一个粒子既不可能凭空产生

也不可能凭空消失

从这个角度我们可以

更进一步的理解

几率守恒的物理意义

至于说几率流密度的

具体表达式

我们可以

以德布罗意波为例子

得到一些概念

把这样的ψ

代入那个J的定义

我们发觉

它就是A的模平方

A就是德布罗意波的系数

乘以p除以m

p就是这里边的

德布罗意波的动量

如果我们直接把ψ做模平方

其实

它就等于A的模平方

因为

后边的指数因子的模是１

所以说

这里可以用ψ的模平方

代替A的模平方

而ψ的模平方的意义

就是几率密度

而p除以m的意义

是粒子的经典速度

对于这样的一个表达式

其实我们还是很熟悉的

假如这里的ρ是电荷密度

v是电荷的平均速度

那么这个J等于ρv

恰好就是电流密度

由此我们可以

进一步的体会

J的这个表达式的合理性

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

2.2.2 几率守恒定律笔记与讨论

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