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5.1.1 力学量的平均值随时间的演化在线视频

5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

下一节:5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

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5.1.1 力学量的平均值随时间的演化课程教案、知识点、字幕

现在我们来讲第五章

量子力学里的对称性

和守恒量

首先讲一下

量子力学里的守恒量的意义

为了了解这个问题

我们从研究力学量的平均值

如何随时间演化开始

我们知道

假如我有一个力学量 A

它在态 ψ 上的平均值

是这样的一个表达式

A 平均值等于 ψ 和 Âψ

的内积

所谓的内积

实际上是一个积分

就是 ψ 的复共轭

乘以 Âψ 再积分

当然

这个表达式有一个条件

就是 ψ 已经归一了

我们这里

设 ψ 是与时间有关的

那么 ψ 随时间的变化

要满足薛定谔方程

那就是 ψ

对 t 的偏导数等于

1/iℏ Ĥψ

当然要注意

这里

不仅仅 ψ 是和时间有关的

一般地说, Ĥ 和 Â

也都可能和时间是有关的

这样我们就可以来求

A 的平均值对时间的导数

它应该由三项来构成

因为这个内积里边

有三个因子相乘

因此它们的导数

要分别地对每一个因子求导

然后加起来

其中 ψ 对 t 的偏导数

可以用薛定谔方程代进去

这里和这里

代入了薛定谔方程

但是要注意

在内积的这个表达式里边

写在左边的这个因子

在积分里

实际上是

以复共轭的形式出现的

所以

当我们把 iℏ 这样的因子

提到内积符号外边的时候

这一项拿出去的时候

实际上要拿到它的复共轭

因此这里出一个负号

这个因子没有问题

直接拿到内积符号之外

其次我们要注意

Ĥ 是一个厄密算符

因此可以把它从

内积因子的左方移到右方

因此这个式子

就可以重新写为这个式子

那么我们发觉

这两项里边出现的

实际上是 Â 和 Ĥ 的对易括号

因为这是负号

这是正号

所以这个式子

又可以重新写成为

下边这个式子

那么

这项意味着

是 Â 对 t 的偏导数的平均值

这边意味着

前边有一个

1/iℏ 的这样的因子

后边就是

Â 和 Ĥ 的对易括号的平均值

现在我们把这个式子

从头到最后一个式子

写出来的话

就是

A 的平均值对 t 的导数

是 Â 对 t 的偏导数的平均值

还要加上一项 1/iℏ

Â 和 Ĥ 的对易括号的平均值

这个式子

就是广义的埃伦费斯特定理

因为埃伦费斯特

在最初推导他的定理的时候

是取了一个特例

下面我们马上就会看到

在量子力学里

算符大多数是不显含时间的

因此

我们先考虑 Â 不显含时间

这种情形

也就是说

Â 对 t 的偏导数

是等于零的

这样一来

这项就等于零

埃伦费斯特定理

就变成了下面这一个

比较简单的等式

那就是

A 的平均值对 t 的导数

等于 1/iℏ

Â 和 Ĥ 的对易括号的平均值

埃伦费斯特

最早的时候取了一个特例

那就是让 Â 等于算符 p̂

也就是 -iℏ∇

哈密顿量算符

就是通常所假设的

动能加势能

那么

由于埃伦费斯特定理

出现的是 1/iℏ

Â 算符和 Ĥ 的对易括号

那么在现在的情形下

就成为这样的对易括号

我们发觉

p̂ 和 p̂²/2m

当然是彼此对易的

因此剩下的就是

p̂ 和势能的对易括号

而再利用 p̂ 的这个表达式

我们发觉这个对易括号

实际上是 ∇

和 V 的对易括号

这时候要注意

它的意义应该理解为

把这样的一个对易括号

作用于任意的波函数

展开

利用微分算符对于

乘积的作用的法则

写成某一个东西乘以 ψ

我们发觉

这前边保留下来的正好是

V 的梯度的负值

而我们又知道

V 的梯度的负值

实际上就是力 f

所以刚才那个等式就变成了

p 的平均值对 t 的导数

等于 f 力的平均值

这个等式

是我们非常熟悉的

牛顿第三运动定律的（注：此处应是牛顿第二定律）

另外一个表现

因为现在

在量子力学的意义上

所有的这些量

都被平均值代替了

这就是

埃伦费斯特最初推导出

他的定理的时候

所写下来的那个等式

由此我们可以理解

量子力学的动力学

和经典力学的动力学

之间的关系

更一般地说

在量子力学里

关于力学量的平均值

随时间演化的那个方程

就是

A 的平均值对时间的导数

是等于 1/iℏ

Â 和 Ĥ 对易括号的平均值

和经典力学里边的

正则运动方程

就是 A 对时间的导数

是 A 和 H 的泊松括号

看起来非常类似

那么泊松括号的定义

是这个样子的

两个力学量

A 和 B 的泊松括号

是它们对于广义坐标

以及广义动量的

偏导数乘积, 求差再求和的

这样的一个表达式

这个泊松括号

也具有反对称的特点

那就是

A 和 B 的泊松括号

等于负的 B 和 A 的泊松括号

前面我们看到的

经典力学的运动方程里边

写下来的

A 和 H 的泊松括号里的 H

其实就是经典的哈密顿量

所以在形式上说

我们看到量子力学里的

对易括号除以 iℏ

和经典力学里的

泊松括号的地位是一样的

在历史的线索上

曾经提出如何把经典力学

进行量子化

而得到量子力学

那么在经典力学中

把泊松括号换成

量子力学的对易括号

除以 iℏ

是实现这种量子化的

途径之一

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序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

5.1.1 力学量的平均值随时间的演化笔记与讨论

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