当前课程知识点：量子力学（上） > 第四章力学量用算符表示 > 4.2 厄密算符的主要性质 > 4.2.4 简并情形共同本征函数

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4.2.4 简并情形共同本征函数在线视频

4.2.4 简并情形共同本征函数

下一节:4.2.5 力学量的完备集

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4.2.4 简并情形共同本征函数课程教案、知识点、字幕

在上一小节中

我们证明了正交性定理

正交性定理说

同一个算符的

属于不同本征值的

本征函数之间是正交的

那么这一小节

我们开始介绍

属于同一本征值的

本征函数之间的正交关系

那么

这种情况

是在有简并的情形下出现的

那么什么是简并呢

简并是指若干个线性独立

或者说线性无关的本征函数

同属于

同一个本征值的情形

一般来说

简并的本征函数

不一定彼此正交

但是我们知道

简并的本征函数之间的

线性组合仍然是

属于同一本征值的

本征函数

因此我们可以通过

对简并的本征函数

进行适当的线性组合

使之彼此正交

例如我们可以通过

施密特正交化程序

对简并的本征函数

进行正交化

关于这方面的内容

我们在这里不做具体的介绍

同学们可以参考教材

或参考书自行学习

接下来我们将重点介绍

另外一种正交化方法

及通过确立同时本征函数

来解决简并本征函数的

正交性问题

那么

什么是同时本征函数呢

同时本征函数是指

这个函数同时是两个

或两个以上的

算符的本征函数

我们可以证明

一对对易的算符

可以有共同的本征函数

即同时本征函数

同时本征函数的物理意义

就在于

在某一个量子状态下

测量

这一对对易的算符

所对应的物理量时

如果这个量子状态

就是这个同时本征函数的话

那么测量这两个物理量

就有确定的值

我们可以将这个定理

推广到多个算符

及两两对易的多个算符

可以有同时本征函数

那么

多个算符的同时本征函数

所描写的状态

就是与算符相对应的力学量

同时具有确定值的状态

那么接下来我们要讨论

如何通过

确定同时本征函数

来解决简并本征函数的

正交性问题

也就是

我们要回答这样一个问题

如果算符F的本征值λ

有简并

如何来保证属于λ的

多个本征函数的正交性

我们方法是下面的

我们引进算符G

使G和F满足对易关系

我们求出F和G的

同时本征函数

注意本征函数

不是一个而是多个

那么本征函数的数目

就是算符F的

简并的本征函数的数目

那么这多个

同时本征函数

对于算符F来说

仍然是简并的

如果这些同时本征函数

对于算符G来说

不再是简并的了

那么正交性定理

就能够保证

它们是正交的

我们也说去除了简并

我们在去除两个字上

加了双引号

这就意味着

这些同时本征函数

对于算符F来说

仍然是简并的

并没有被去除

但是它们对于算符G来说

是非简并的

因此我们说去除了简并

如果F和G的

部分同时本征函数

对于G来说

仍然是简并的

那么我们就不得不引进

第三个算符H

使得F G H

彼此两两对易

我们求出这三个算符的

同时本征函数

并检查它们对于H来说

是否是简并的

如果这些同时本征函数

对于算符H不是简并的

那么我们就去除了

所有的简并

如果不是这样

我们就不得不再引进

第四个算符如此等等

直到所有的简并

完全去除为止

在这里可能我们要问

我们要引进多少个算符

才能够完全去除简并呢

关于这个问题

我们将稍候作出回答

下面

我们将对同时本征函数

作一些数学上的表达

如果

所有的简并完全被去除

每一个同时本征函数

将由一组量子数完全确定

比如

三个算符去除简并为例

每一个同时本征函数

将由ψ角标nlm来表示

量子数nlm

分别与三个算符的

本征值λμκ相关

在以后的章节中

我们将接触到

氢原子中的电子

那么氢原子中电子的波函数

就是由ψ_nlm来表示的

其中n是主量子数

l上轨道量子数

m是磁量子数

它们分别对应了三个算符

是能量算符

轨道角动量平方的算符

以及轨道角动量

算符的z分量

去除简并意味着

同时本征函数的正交性

我们可以将

同时本征函数的正交性

用内积的形式

表达为以下的表达式

即ψ_nlm和ψ_n’l’m’的内积

等于δ_nn’乘上δ_ll’

乘上δ_mm’

我们发现

同时本征函数

如果对量子数

n和l是简并的

也就是说n等于n’

l等于l’

我们也可以找到第三个算符

对同时本征函数

进行正交化

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

4.2.4 简并情形共同本征函数笔记与讨论

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