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*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理在线视频

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下一节:*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

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*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理课程教案、知识点、字幕

这一节我们来讲一个

比较特殊的问题

就是在周期性势场中的

能带结构

周期性势场问题

是固体物理的基本问题

因为固体的结构

就是晶格结构

在这样的结构中

运动的电子

所面临的势场

就是一种周期性势场

在周期性势场中的能级

是能带的形式

这种能带兼有分立能谱

和连续能谱的特征

下面我们就要来解释一下

这种结构

是怎么出现的

首先我们来考虑

周期性势场中的基本特征

它表达成为

弗洛盖-布洛赫定理

周期性势场就是满足

这样的关系的一个势场

就是U(x+a)等于U(x)

这里的a是一个正数

并且是使得这个关系

能够满足的最小正数

称之为周期

所以

这个时候粒子的哈密顿量

H等于动能项加势能项

就会在x

变成x+a的这样的

有限的平移变换之下

保持不变

这是一个很重要的

不变性

也称之为对称性

虽然这种对称性

并不导致什么守恒量

但是

仍然有非常丰富的物理结果

现在我们就来考虑

周期性势场中的

薛定谔方程

这里有一个非常基本的定理

是弗洛盖定理

就是

周期性势场中的波函数ψ(x)

满足这样的一个条件

ψ(x+a)等于e指数上iKa

乘以ψ(x)

这里的K是一个常数

a就是势场的周期

注意

如果是一个周期函数的话

那么

ψ(x+a)就等于ψ(x)

但是这里出现了一个

另外的位相因子

所以说

这种函数

又称之为准周期函数

很明显

如果我在K上

加上一个a分之2π

那么指数上

只不过多了一个2π

仍然是原来的值

所以说这个K

是以a分之2π为周期的

因此

通常我们把K的取值范围

限制在某一个区间之内

最常用的

是取这样的一个区间

当K介于负的a分之π

和正的a分之π之间

K的这个区域

称为第一布里渊区

对于弗洛盖定理的证明

我们不给予严格的阐述

直观的来理解ψ

的模平方

代表的是粒子出现的几率

既然粒子在一个

周期性势场里运动

那么

粒子出现的几率

也应该表现出一种周期性

也就是说

ψ(x+a)的模平方

应该等于ψ(x)的模平方

把这样一来

这个值本身

就可能差一个相位因子

从弗洛盖定理

又可以推出下面的

布洛赫定理

它把周期性势场中的波函数

直接表达成为

这样的一种形式

就是ψ(x)等于e指数上iKx

再乘以一个Φ_K(x)

由于这个函数

和这个K的值有关

所以说

在Φ这个符号的右下角

加上一个K

其中这个Φ_K(x)

就是一个严格的

周期函数

反过去说我们可以

很容易的看到

就是如果说

ψ(x)具有这种形式的话

那么弗洛盖定理

所表达的

准周期函数的条件

是可以得到满足的

这种波函数

称之为布洛赫波

其中的K

称为布洛赫波数

注意我们这里的K

是用一个大写字母来表达的

怎么理解布洛赫波呢

如果我们把它写成这个样子

那么这个因子

实际上是一个平面波

它前面的这个因子

可以称为是

平面波的振幅

但是

现在这个振幅

不再是一个常数

而是一个周期函数

这种形式的函数

在信号论里边

被称为幅度调制

所以说

布洛赫波可以看作是

平面波的幅度调制的结果

刚才我们已经说

我们用大写字母K

来代表布洛赫波数

这主要是想把它和

德布罗意波里边的波数

进行区别

这里边有两点

需要注意

第一点是

布洛赫波数

是没有绝对意义的

因为

在布洛赫波里边的这个K

如果加上

a分之2π的整数倍

其实代表的是

相同的意义

所以说

K不是一个绝对的值

而且

如果考虑粒子的能量的话

E也不是用

hbar平方K平方除以2m

来表达

这两点

都是和德布罗意波数

非常不一样的

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理笔记与讨论

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