当前课程知识点：量子力学（上） > 第四章力学量用算符表示 > 4.2 厄密算符的主要性质 > 4.2.3 本征函数系的正交性

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4.2.3 本征函数系的正交性在线视频

4.2.3 本征函数系的正交性

下一节:4.2.4 简并情形共同本征函数

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4.2.3 本征函数系的正交性课程教案、知识点、字幕

上一小节中

我们探讨了

厄密算符的

本征值的一些性质

那么这个小节

我们来探讨一下

厄密算符的

本征函数的性质

及本征函数系的正交性

什么叫正交呢

正交的定义就是

如果两个函数ψ_1和ψ_2

满足下面的等式

也就是

ψ_1的共轭乘上ψ_2

再对全空间求积分等于零

那么这两个函数ψ_1和ψ_2

就是正交的

彼此正交的两个函数的

几何意义

就是彼此垂直

如果我们想做一下类比的话

那么这两个函数ψ_1和ψ_2

就对应

平面直角坐标系里边的

x方向的矢量

和y方向上的矢量

它们是彼此垂直的

接下来

我们要讨论一下

厄密算符的

本征函数的正交性的问题

及正交性定理

同一个厄密算符的

属于不同本征值的

本征函数彼此正交

我们接下来要对

这个正交性定理进行证明

设厄密算符

有两个本征函数ψ_1和ψ_2

它们是分别属于

本征值λ_1和λ_2的函数

并且λ_1不等于λ_2

那么下面

我们就写出两个本征方程

及F作用在ψ_1上

等于λ_1乘上ψ_1

F作用在ψ_2上

等于λ_2乘上ψ_2

下面证明的过程和刚才

我们证明厄密算符的

本征值是实数的证明

是一样的

我们要利用

厄密算符的定义

由于F是厄密算符

因此有如下的表示

我们在证明

厄密算符的本征值

是实数的证明中

也用到了类似的等式

下面我们将上面

提到的两个本征方程

代入到等式的左右两边

因此F作用在ψ_2上

就等于λ_2乘上ψ_2

F作用在ψ_1的共轭

就等于λ_1的共轭

乘上ψ_1的共轭

由于

我们知道F是厄密算符

厄密算符的本征值

都是实数

因此λ_1的共轭就等于λ_1

因此我们就得到了下面的

这个等式

而且

由于之前我们提到了λ_1

并不等于λ_2

因此要使以上的等式成立

那么只有这个积分等于零

也就是ψ_1的共轭乘上ψ_2

对全空间的积分等于零

这样我们就证明了

ψ_1和ψ_2是正交的

因此我们也证明了

正交性定理

也就是

同一个厄密算符的

属于不同的

本征值的本征函数

是正交的

从整个的证明过程中

我们发现

无论厄密算符F的本征值谱

是分立的

还是连续的

正交性定理都是成立的

但是本征值谱是分立的

还是连续的

却影响着

本征函数的归一性

如果算符F的本征值谱

是分立的

而且本征函数

是非简并的

那么

本征函数可以平方可积

因此可以有限的归一化

这个结论

我们不做具体的证明

本征函数的非简并

是指不存在

两个或两个以上的

线性无关的本征函数

同属于

同一个本征值的情况

那么关于简并的定义

我们将在下一小节中

具体说明

如果我们假设

F的本征值谱是分立的

而且本征函数是非简并的

那么我们可以将

本征函数的

正交性和归一性

归纳为以下的表达式

即ψ_k的共轭乘上ψ_l

对全空间的积分等于δ_kl

这里边的δ_kl是Kronecker δ

当k等于l的时候

这个函数等于1

当k不等于l的时候

这个函数等于0

k和l是正整数

它对应

算符F的所有的本征值

当k不等于l的时候

那么ψ_k和ψ_l

就是两个

属于不同的

本征值的本征函数

它们之间是正交的

当k等于l的时候

这个公式就给出了

本征函数的归一性条件

因此

这个表达式也称为

函数系ψ_1ψ_2等等的

正交归一关系

或正交归一性

为了简单起见

我们将这一个积分及ψ

的共轭乘上φ

对全空间的积分

写成

括号ψ逗号φ括号完毕

并称为ψ和φ的内积

这就相当于在矢量计算中

两个矢量的标记

因此

正交归一性可以表达为

ψ_k和ψ_l的内积

等于δ_kl

这里我们不要忘记

这个表达式成立的条件

是厄密算符F的本征值谱

是分立谱

而且本征函数是非简并的

那么如果算符F的本征值谱

是连续谱

那么本征函数

就不是平方可积的

但是本征函数系

仍可以按照δ函数归一化

也就是我们把Kronecker δ

换作狄拉克δ函数

关于这方面的内容

我们将在下一节

及4.3节中

做具体的说明

下面我们罗列一下

内积的主要性质

第一

波函数自身的内积

大于等于零

以上等式

等于零的充分必要条件

就是波函数ψ本身等于零

第二个性质是这样的

复数c_1乘上波函数ψ_1

加上复数c_2乘上波函数ψ_2

和φ的内积

等于复数c_1的共轭

乘上ψ_1和φ的内积

加上复数c_2的共轭

乘上ψ_2和φ的内积

那第三个性质

是ψ和复数c_1乘上ψ_1

加上复数c_2乘上φ_2的内积

等于复数c_1乘上ψ

和φ_1的内积

加上复数c_2乘上ψ

和φ_2的内积

那最后一个性质

是ψ和φ的内积的共轭

等于φ和ψ的内积

这些性质

我们都可以很容易的

从内积的定义中得到

我们也可以

把厄密共轭算符的定义

写成内积的形式

即φ和算符F

作用在波函数ψ上的内积

等于算符F的

厄密共轭算符F^dagger

作用在波函数φ

和波函数ψ的内积

这里φ和ψ

都是任意的两个函数

如果F是个厄密算符

那么F^dagger等于F

这样我们也就得到了

厄密算符定义的内积的

表达形式

量子力学（上）课程列表：

序言

-引言

第一章量子力学的历史渊源

-1.1 普朗克的光量子假说

--1.1.1 黑体辐射的能谱

--1.1.2 普朗克假说

--1.1.3 光电效应

--1.1.4 康普顿效应

-1.2 玻尔的原子结构模型

--1.2.1 氢原子光谱和弗兰克-赫兹实验

--1.2.2 玻尔模型

--1.2.3 索末菲量子化条件

-1.3 德布罗意的物质波假说

--1.3.1 德布罗意假说

--1.3.2 微观粒子波动性的实验

-第一章量子力学的历史渊源--第1周作业

第二章波函数与薛定谔方程

-2.1波函数

--2.1.1 波粒二象性的意义

--2.1.2 波函数的统计诠释

--2.1.3 波函数的归一化

--2.1.4 态叠加原理

--2.1.5 动量分布几率

--2.1.6 不确定关系

--2.1.7 力学量的平均值和力学量的算符表示

--2.1.8波函数应满足的要求

-第二章波函数与薛定谔方程--第2周作业

-2.2 薛定谔方程

--2.2.1 薛定谔方程的引入

--2.2.2 几率守恒定律

--*2.2.3量子力学的初值问题自由粒子的传播子

--2.2.4 定态薛定谔方程能量本征方程

--2.2.5 非定态薛定谔方程的一般解

--2.2.6 一般系统的薛定谔方程

--2.2.7 量子力学的表象

--2.2.8 量子力学中的测量波包坍缩

-第二章波函数与薛定谔方程--第3周作业

第三章一维势场中的粒子

-3.1一维运动问题的一般分析

--3.1.1 一维定态薛定谔方程的解的一般特征

--3.1.2 关于一维定态薛定谔方程的解的基本定理

--3.1.3 一维定态的分类束缚态和非束缚态

--3.1.4一维束缚态的一般性质

-第三章一维势场中的粒子--第4周作业

-3.2 方势阱

--3.2.1 一维无限深势阱

--3.2.2 对称有限深方势阱

-3.3 δ函数势阱

--3.3.1 函数的定义和主要性质

--3.3.2 一维δ函数势阱中的束缚态

--3.3.3 δ函数势阱与方势阱的关系

-第三章一维势场中的粒子--第5周作业

-3.4 线性谐振子

--3.4.1 方程的无量纲化和化简

--3.4.2 厄密多项式

--3.4.3 线性谐振子的能级和波函数

-3.5 一维散射问题

--3.5.1 一维散射问题的一般描述方法

--3.5.2 方势垒的量子隧穿

--3.5.3 方势阱的共振透射

-第三章一维势场中的粒子--第6周作业

-*3.6 δ势的穿透

--3.6.1 δ势垒的穿透

--3.6.2 δ势阱的穿透

-*3.7 周期性势场中的能带结构

--*3.7.1 有限平移不变性，弗洛盖-布洛赫定理

--*3.7.2克勒尼希-彭尼模型，能带的形成

--第三章一维势场中的粒子--第7周作业

第四章力学量用算符表示

-4.1 算符及其运算

--4.1.1 基本的和导出的力学量算符

--4.1.2 线性算符

--4.1.3 算符的运算和厄密算符

--4.1.4算符的对易关系

-第四章力学量用算符表示--第8周作业

-4.2 厄密算符的主要性质

--4.2.1 算符的本证方程

--4.2.2 厄密算符的本征值

--4.2.3 本征函数系的正交性

--4.2.4 简并情形共同本征函数

--4.2.5 力学量的完备集

--4.2.6 一般力学量的测量几率

--4.2.7 不确定关系的准确形式

-第四章力学量用算符表示--第9周作业

-4.3 动量本征函数的归一化

--4.3.1 动量本征函数在无穷空间中的归一化

--*4.3.2 动量本征函数的箱归一化

-4.4 角动量算符的本征值和本征态

--4.4.1角动量算符的球坐标表示

--4.4.2 角动量算符z的本征值和本征函数

--4.4.3 角动量平方算符的本征值和本征函数

--4.4.4 球谐函数的基本性质

-第四章力学量用算符表示--第10周作业

第五章量子力学中的对称性与守恒量

-5.1 量子力学中的守恒量

--5.1.1 力学量的平均值随时间的演化

--5.1.2 量子力学里的守恒量好量子数

--*5.1.3 能级简并与守恒量

--*5.1.4 维里定理

-5.2 对称性与守恒量

--5.2.1体系的对称变换幺正变换

--5.2.2 空间平移不变性与动量守恒

--5.2.3 空间旋转不变性与角动量守恒

--5.2.4 离散对称性及离散守恒量

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第11周作业

-5.3 全同粒子系统波函数的交换对称性

--5.3.1多粒子体系的描写

--5.3.2 全同粒子的不可区别性

--5.3.3波函数的变换对称性和粒子的统计性质

--5.3.4交换对称或反对称波函数的构成泡利不相容原理

--5.3.5 自由电子气费米面

-*5.4 Schrödinger图画和Heisenberg图画

--*5.4.1 薛定谔方程初值问题的形式解

--*5.4.2 薛定谔图画

--*5.4.3 海森堡图画

-第五章量子力学中的对称性与守恒量--第12周作业

第六章中心力场

-6.1 中心力场中粒子运动的一般性质

--6.1.1中心力场中薛定谔方程的约化

--6.1.2约化径向方程与一维薛定谔方程的比较

--*6.1.3 二体问题的分解相对运动

-*6.2 球无限深势阱

--*6.2.1球坐标系中的自由粒子波函数

--*6.2.2球无限深势阱中能级的确定

-第六章中心力场--第13周作业

-6.3 三维各向同性谐振子

--6.3.1 三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解

--6.3.2球坐标系中的解缔合拉盖尔多项式

-6.4 氢原子和类氢离子

--6.4.1 径向方程的化简及其解

--6.4.2 氢原子和类氢原子的能级和波函数

--6.4.3 氢原子的轨道磁矩 g因子

--6.4.4 碱金属原子的能级

--*6.4.5 电子偶素电子偶素湮灭的EPR佯谬

第七章带电粒子在电磁场中的运动

-7.1 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程

--7.1.1 带电粒子在电磁场中的经典哈密顿量正则动量

--7.1.2 带电粒子在电磁场中的薛定谔方程规范条件

--7.1.3 经典的和量子的规范不变性

-*7.2 朗道能级

--7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动

--7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动朗道能级

--*7.2.3 朗道能级的简并度

-*7.3 阿哈罗诺夫-博姆(Aharonov-Bohm)效应

--*7.3.1 费曼的路径振幅

--*7.3.2 无线长螺线管的矢量势

--*7.3.3 阿哈罗诺夫-博姆效应和不可积相因子

4.2.3 本征函数系的正交性笔记与讨论

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