5.2.2 空间平移不变性与动量守恒在线视频

下面我们就举

具体的由某种不变性

导致守恒量的例子

首先来看空间平移

为了简单起见

我们就观察一维系统

也就是说一个粒子

在x轴上运动

我们来考虑x轴的一个平移

它就表示为x变为x′

等于x+δx

对于这个变换

可以有两种理解

一种是坐标系并没有移动

而是物理系统

整个的移动了一个距离

就比如说

我作为一个物理系统的代表

我向右走了一步

这意味着我做了一个平移

另外一种理解

是物理系统并没有移动

而是坐标系移动了一个距离

列举刚才那个例子

那就是假如我没有动

但是这个大屏幕

向这个方向移动了一个距离

那么结果也是一样的

这两种不同的变换的理解

前者称为主动的变换

那是因为物理系动了

而后者称为被动的变换

那是因为物理系没有动

坐标系动了

当然这两种变换的结果

其实是一样的

可以说

它们是一种互逆的关系

这因为运动本身就是相对的

所以

它们并没有本质上的差别

但是这两种不同的理解

导致后边

在理论上处理变换的时候

有一些差异

所以说我们还是要把

究竟立足于什么样的理解

加以明确

在我们这个课程里

我们将采用主动变换的理解

因此对于平移而言

它所导致的波函数的变换

是ψ′表示变换之后的

系统的状态

x′表示变换之后的坐标

它等于ψ

变换以前的那个波函数

在x变换以前的

那个坐标点的值

为什么对于主动变换而言

是这个等式呢

我们看这个图

就可以了解了

这条曲线表现的是

变换以前的波函数

这条曲线表现的是

变换以后的波函数

比如说我们以这一点的值

作为例子

那就表明ψ

在x这一点的值等于ψ′

在x′这一点的值

我们把平移变换代进去

这就表明ψ′在x+δx的值

等于ψ在x这一点的值

但是x是一个变量

所以我们也可以把这个+δx

拿到这边来变成-δx

所以这个式子也可以写成为ψ′

在x点的值

等于ψ在x-δx这一点的值

对于这个式子

我们可以利用大家

在数学分析里所熟知的

泰勒展开的表达式

但是由于

δx是一个无穷小量

所以说ψ′的展开

实际上只需要保留到

δx的一阶项

也就是说

ψ′(x)等于ψ(x)减去

δx乘以ψ对x的导数

如果我们把ψ(x)一起拿到

这个方程的最右边

那么可以把它写成一个

变换的样子

那就是这里是1

其实也就是单位算符

或者叫做恒等变换

然后减去一个无穷小的δx

乘以这样的一个算符就是

对x求导的算符

合起来作用于ψ(x)

前面我们已经引入了一个

所谓的无穷小变换的

一个表达式

那就是

括号里边是单位算符

加上iε乘以一个算符F

这样比较而言

我们可以把这里的δx

认为是无穷小量ε

然而正象前面所讲的

在这个表达式里边的

F的单位是并不定的

为了把这个量

完全的确定下来

我们做这样的安排

那就是第一

把这里的加号变成减号

第二这里除了一个hbar

再把它的新的算符定义为p_x

那么很明显

这个p_x就应该是负的ihbar

乘以一个对x的微分算符

而这个算符

当然是一个厄密算符

那么我们发觉

这个算符不是别的

正是沿x方向的动量算符

刚才我们讲到的是

无穷小的平移变换

假如进行的是

非无穷小的平移变换

这里我们把它写成为

x′等于x+a 这个a

不一定是一个无穷小量

那么

重新把这个波函数的变换

写下来的话

那就变成了ψ′在x点的值

等于ψ在x-a这一点的值

而我们把泰勒展开

完整的写下来的话

它是一个无穷级数

而这个级数

也可以用一种变换的形式

来表达

因为这里的-a的n次幂

除以n的阶乘

再乘以对x的n阶导数

它正好是一个

指数函数的无穷级数展开

这个指数函数是

这样的一个指数函数

指数上是

-a乘以对x的微分算符

用它作用于ψ(x)

正好就得到了这个表达式

而我们再回忆刚才引入的

p_x的定义

它就可以写成为

指数上-ia乘以p_x再除以hbar

这样的一个算符作用于ψ

当然根据我们前面的推导

大家就知道

这样的一个指数算符

是一个幺正算符

这个过程称之为

幺正算符的指数化

这是一个问题

那就是空间平移

导致系统波函数产生

什么样的变化

另一方面的问题

我们要考虑这个系统

是空间平移之下不变的

它的意思就是

H是x的函数

当我们把坐标x

做一个平移变换的时候

这个H并不发生改变

这就意味着H是一个

空间平移不变的量

也就是说

H对x的导数等于零

而一方面

我们原来已经知道了

这种导数可以利用对易括号

来表出

以前我们证明过这样的公式

于是这个H对x导数等于零

也就同时意味着

p_x和H的对易括号等于零

而这也就表明

p_x是一个守恒量

所以现在我们就得到了

系统的空间平移不变性

和动量守恒之间的一个联系

如果我们把刚才的论述

也推广到

沿着y和z方向的平移

那么我们就得到了

三维空间的平移

它可以用矢量的形式

把它写成这个样子

这个时候这个δr

是一个无穷小的三维矢量

相应的说波函数的变换

也就用以这样一个

无穷小的矢量作为一个参数

这时候要有一个点乘运算

因为这个时候的p

也变成了一个矢量

而它的表达式

很显然就是

-ihbar乘以倒三角算符

而它正好就是

三维空间的动量算符

完全类似的和前面所说的

平移不变性联系在一起

这时候的空间平移的不变性

就变成了H当r有一个

平移变换的时候保持不变

那么它也就导致了

三维的动量算符

和H的对易括号等于零

也就是说

三维动量p

现在是一个守恒量

很容易把

空间平移和时间平移

联系起来考虑

刚才我们证明的是

空间平移的不变性

导致了动量守恒

那么很容易推想到

对于时间平移不变而言

应该是时间平移不变性

要导致能量守恒

其实这件事情

已经是我们所熟知的事实

因为前面我们证明了

如果H和时间是无关的

也就是说

H对时间的导数等于零

那么

它就是H在时间平移下不变

那么H这个时候

就是一个守恒量

同时它的物理意义就是能量